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        濱州市第一小學!
      
    小學數學新課程標準
     

    第一部分  

      數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論,并進行廣泛應用的過程。20世紀中葉以來,數學自身發生了巨大的變化,特別是與計算機的結合,使得 數學在研究領域、研究方式和應用范圍等方面得到了空前的拓展。數學可以幫助人們更好地探求客觀世界的規律,并對現代社會中大量紛繁復雜的信息作出恰當的選擇與判斷,同時為人們交流信息提供了一種有效、簡捷的手段。數學作為一種普遍適用的技術,有助于人們收集、整理、描述信息,建立數學模型,進而解決問題,直接為社會創造價值。
      義務教育階段的數學課程,其基本出發點是促進學生全面、持續、和諧地發展。它不僅要考慮數學自身的特點,更應遵循學生學習數學的心理規律,強調從學生已有的生活經驗出發,讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程,進而使學生獲得對數學理解的同時,在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。
    一、基本理念 
      1.義務教育階段的數學課程應突出體現基礎性、普及性和發展性,使數學教育面向全體學生,實現:
      --人人學有價值的數學;
      --人人都能獲得必需的數學;
      --不同的人在數學上得到不同的發展。
      2.數學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具,能夠幫助人們處理數據 、進行計算、推理和證明,數學模型可以有效地描述自然現象和社會現象;數學為其他科學提供了語言、思想和方法,是一切重大技術發展的基礎;數學在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和創造力等方面有著獨特的作用;數學是人類的一種文化,它的內容、思想、方法和語言是現代文明的重要組成部分。
      3.學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的,這些內 容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動。內容的呈現應采用不同的表達方式,以滿足多樣化的學習需求。有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶,動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。由于學生所處的文化環境、家庭背景和自身思維方式的不同,學生的數學學習活動應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。 
      4.數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。教師應激發學生的學習積極性,向學生提供充分從事數學活動的機會,幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法,獲得廣泛的數學活動經驗。學生是數學學習的主人,教師是數學學習的組織者、引導者與合作者。
      5.評價的主要目的是為了全面了解學生的數學學習歷程,激勵學生的學習和改進教師的教學;應建立評價目標多元、評價方法多樣的評價體系。對數學學習的評價要關注學生學習的結果,更要關注他們學習的過程;要關注學生數學學習的水平,更要關注他們在數學活 動中所表現出來的情感與態度,幫助學生認識自我,建立信心。
      6.現代信息技術的發展對數學教育的價值、目標、內容以及學與教的方式 產生了重大的影響。數學課程的設計與實施應重視運用現代信息技術,特別要充分考慮計算器、計算機對數學學習內容和方式的影響,大力開發并向學生提供更為豐富的學習資源,把現代信息技術作為學生學習數學和解決問題的強有力工具,致力于改變學生的學習方式,使學生樂意并有更多的精力投入到現實的、探索性的數學活動中去。 
    二、設計思路 
    (
    關于學段
      為了體現義務教育階段數學課程的整體性,《全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)》(以下簡稱 《標準》)通盤考慮了九年的課程內容;同時,根據兒童發展的生理和心理特征,將九年的學習時間具體劃分為三個學段:
      第一學段(13年級)、第二學段(46年級)、第三學段(79年級)。 

    (關于目標
      根據《基礎教育課程改革綱要(試行)》,結合數學教育的特點,《標準》明確了義務教育階段數學課程的總目標,并從知識與技能、數學思考、解決問題、情感與態度 等四個方面作出了進一步的闡述。
      《標準》中不僅使用了了解(認識)、理解、掌握、靈活運用等刻畫知識技能的目標動詞,而且使用了經歷(感受)、體驗(體會)、探索等刻畫數學活動水平的過程性目標動詞,從而更好地體現了《標準》對學生在數學思考、解決問題以及情感與態度等方面的要求。

    知識技能目標

    了解(認識)

    能從具體事例中,知道或能舉例說明對象的有關特征(或意義);能根據對象的特征,從具體 情境中辨認出這一對象。

    理解

    能描述對象的特征和由來;能明確地闡述此對象與有關對象之間的區別和聯系。

    掌握

    能在理解的基礎上,把對象運用到新的情境中。

    靈活運用

    能綜合運用知識,靈活、合理地選擇與運用有關的方法完成特定的數學任務。

    過程性目標

    經歷(感受)

    在特定的數學活動中,獲得一些初步的經驗。

    體驗(體會)

    參與特定的數學活動,在具體情境中初步認識對象的特征,獲得一些經驗。

    探索

    主動參與特定的數學活動,通過觀察、實驗、推理等活動發現對象的某些特征或與其他對象 的區別和聯系。


    (關于學習內容
      在各個學段中,《標準》安排了數與代數”“空間與圖形”“統計與概率”“實踐與綜合應用四個學習領域。課程內容的學習,強調學生的數學活動,發展學生的數感、符號感、空間觀念、統計觀念,以及應用意識與推理能力。
      數感主要表現在:理解數的意義;能用多種方法來表示數;能在具體的情 境中把握數的相對大小關系;能用數來表達和交流信息;能為解決問題而選擇適當的算法;能估計運算的結果,并對結果的合理性作出解釋。
      符號感主要表現在:能從具體情境中抽象出數量關系和變化規律,并用符號來表示;理解符號所代表的數量關系和變化規律;會進行符號間的轉換;能選擇適當的程序和方法解決用符號所表達的問題。
    空間觀念主要表現在:能由實物的形狀想像出幾何圖形,由幾何圖形想像出實物的形狀,進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉化;能根據條件做出立體模型或畫出圖形;能從較復雜的圖形中分解出基本的圖形,并能分析其中的基本元素及其關系;能描述實物或幾何圖形的運動和變化;能采用適當的方式描述物體間的位置關系;能運用圖形形象地描述問題,利用直觀來進行思考。
      統計觀念主要表現在:能從統計的角度思考與數據信息有關的問題;能通過收集數據、描述數據、分析數據的過程作出合理的決策,認識到統計對決策的作用;能對數據的來源、處理數據的方法,以及由此得到的結果進行合理的質疑。
      應用意識主要表現在:認識到現實生活中蘊含著大量的數學信息、數學在現實世界中有著廣泛的應用;面對實際問題時,能主動嘗試著從數學的角度運用所學知識和方法尋求解決問題的策略;面對新的數學知識時,能主動地尋找其實際背景,并探索其應用價值。
      推理能力主要表現在:能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數學猜想,并進一步尋求證據、給出證明或舉出反例;能清晰、有條理地表達自己的思考過程,做到言之有理、落筆有據;在與他人交流的過程中,能運用數學語言合乎邏輯地進行討論與質疑。
      為了體現數學課程的靈活性和選擇性,《標準》在內容標準中僅規定了學生在相應學段應該達到的基本水平,教材編者及各地區、學校,特別是教師應根據學生的學習愿望及其發展的可能性,實施因材施教。同時,《標準》并不規定內容的呈現順序和形式,教材可以有多種編排方式。

    (關于實施建議
      《標準》針對教學、評價、教材編寫、課程資源的利用與開發提出了建議,供有關人員參考,以保證《標準》的順利實施。
      為了解釋與說明相應的課程目標或課程實施建議,《標準》還提供了一些案例,供參考。

    第二部分課程目標

    一、總體目標
      通過義務教育階段的數學學習,學生能夠:
      ● 獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識(包括數學事實、數學活動經驗)以及基本的數學思想方法和必要的應用技能;
      ● 初步學會運用數學的思維方式去觀察、分析現實社會,去解決日常生活中和其他學科學習中的問題,增強應用數學的意識;
      ● 體會數學與自然及人類社會的密切聯系,了解數學的價值,增進對數學的理解和學好數學的信心;
      ● 具有初步的創新精神和實踐能力,在情感態度和一般能力方面都能得到充分發展。
    具體闡述如下:

    知識與技能

    經歷將一些實際問題抽象為數與代數問題的過程,掌握數與代數的基礎知識和基本技能,并能解決簡單的問題。
    經歷探究物體與圖形的形狀、大小、位置關系和變換的過程,掌握空間與圖形的基礎知識和基本技能,并能解決簡單的問題。
    經歷提出問題、收集和處理數據、作出決策和預測的過程,掌握統計與概率的基礎知識和基本技能,并能解決簡單的問題。

    數學思考

    ● 經歷運用數學符號和圖形描述現實世界的過程,建立初步的數感和符號感,發展抽象思維。
    豐富對現實空間及圖形的認識,建立初步的空間觀念,發展形象思維。
    經歷運用數據描述信息、作出推斷的過程,發展統計觀念。
    經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程,發展合情推理能力和初步的演繹推理能力,能有條理地、清晰地闡述自己的觀點。

    解決問題

    ● 初步學會從數學的角度提出問題、理解問題,并能綜合運用所學的知識和技能解決問題,發展應用意識。
    形成解決問題的一些基本策略,體驗解決問題策略的多樣性,發展實踐能力與創新精神。
    學會與人合作,并能與他人交流思維的過程和結果。
    初步形成評價與反思的意識。

    情感與態度

    ● 能積極參與數學學習活動,對數學有好奇心與求知欲。
    ● 
    在數學學習活動中獲得成功的體驗,鍛煉克服困難的意志,建立自信心。
    初步認識數學與人類生活的密切聯系及對人類歷史發展的作用,體驗數學活動充滿著探索與創造,感受數學的嚴謹性以及數學結論的確定性。
    形成實事求是的態度以及進行質疑和獨立思考的習慣。

      以上四個方面的目標是一個密切聯系的有機整體,對人的發展具有十分重要的作用,它們是在豐富多彩的數學活動中實現的。其中,數學思考、解決問題、情感與態度的發展離不開知識與技能的學習,同時,知識與技能的學習必須以有利于其他目標的實現為前提。 
    二、學段目標 

    ,

    第一學段(13年級)

    第二學段(46年級)

    第三學段(79年級)

    知識與技能

    經歷從日常生活中抽象出數的過程,認識萬以 內的數、小數、簡單的分數和常見的量;了解四則運算的意義,掌握必要的運算(包括估算)技能。
    經歷直觀認識簡單幾何體和平面圖形的過程,了解簡單幾何體和 平面圖形,感受平移、旋轉、對稱現象,能初步描述物體的相對位置,獲得初步的測量(包括估測)、識圖、作圖等技能。
    對數據的收集、整理、描述和分析過程有所體驗,掌握一些簡單的數據處理技能;初步感受不確定現象。 

    經歷從現實生活中抽象出數及簡單數量關系的過程,認識億以內的數,了解分數、百分數、負數的意義,掌握必要的運算(包括估算)技能;探索給定事物中隱含的規律,會用方 程表示簡單的數量關系,會解簡單的方程。
    經歷探索物體與圖形的形狀、大小、運動和位置關系的過程,了解簡單幾何體和平面圖形的 基本特征,能對簡單圖形進行變換,能初步確定物體的位置,發展測量(包括估測)、識圖 、作圖等技能。
    ● 
    經歷收集、整理、描述和分析數據的過程,掌握一些數據處理技能;體驗事件發生的等可能性、游戲規則的公平性,能計算一些簡單事件發生的可能性。

    經歷從具體情境中抽象出符號的過程,認識有理數、實數、代數式、方程、不等式、函數;掌握必要的運算(包括估算)技能;探索具體問題中的數量關系和變化規律,并能運用 代數式、方程、不等式、函數等進行描述。
    經歷探索物體與圖形的基本性質、變換、位置關系的過程,掌握三角形、四邊形、圓的 基本性質以及平移、旋轉、軸對稱、相似等的基本性質,初步認識投影與視圖,掌握基本的 識圖、作圖等技能;體會證明的必要性,能證明三角形和四邊形的基本性質,掌握基本的推理技能。
    從事收集、描述、分析數據,作出判斷并進行交流的活動,感受 抽樣的必要性,體會用 樣本估計總體的思想,掌握必要的數據處理技能;進一步豐富對概率的認識,知道頻率與概率的關系,會計算一些事件發生的概率。

    數學思考

    能運用生活經驗,對有關的數字信息作出解釋,并初步學會用具體的數描述現實世界中的簡單現象。
    在對簡單物體和圖形的形狀、大小、位置關系、運動的探索過程中 ,發展空間觀念。
    在教師的幫助下,初步學會選擇有用信息進行簡單的歸納與類比。
    在解決問題過程中,能進行簡單的、有條理的思考。

    ● 能對現實生活中有關的數字信息作出合理的解釋,會用數、字母和圖表描述并解決現實世界中的簡單問題。
    在探索物體的位置關系、圖形的特征、圖形的變換以及設計圖案的 過程中,進一步發展空間觀念。
    能根據解決問題的需要,收集有用的信息,進行歸納、類比與猜測,發展初步的合情推理能力。
    在解決問題過程中,能進行有條理的思考,能對結論的合理 性作出有說服力的說明。

    ● 能對具體情境中較大的數字信息作出合理的解釋和推斷,能用代數式、方程、不等式、函數刻畫事物間的相互關系。
    在探索圖形的性質、圖形的變換以及平面圖形與空間幾何體的相互 轉換等活動過程中,初步建立空間觀念,發展幾何直覺。
    能收集、選擇、處理數學信息,并作出合理的推斷或大膽的猜測。
    能用實例對一些數學猜想作出檢驗,從而增加猜想的可信程度或推 翻猜想。
    體會證明的必要性,發展初步的演繹推理能力。

    解決問題

    能在教師指導下,從日常生活中發現并提出簡單的數學問題。
    了解同一問題可以有不同的解決辦法。
    有與同伴合作解決問題的體驗。
    初步學會表達解決問題的大致過程和結果。

    能從現實生活中發現并提出簡單的數學問題。
    能探索出解決問題的有效方法,并試圖尋找其他方法。
    能借助計算器解決問題。
    在解決問題的活動中,初步學會與他人合作。
    能表達解決問題的過程,并嘗試解釋所得的結果。
    具有回顧與分析解決問題過程的意識。

    能結合具體情境發現并提出數學問題。
    嘗試從不同角度尋求解決問題的方法,并能有效地解決問題,嘗試評價不同方法之間的差異。
    體會在解決問題的過程中與他人合作的重要性。
    能用文字、字母或圖表等清楚地表達解決問題的過程,并解釋結果 的合理性。
    通過對解決問題過程的反思,獲得解決問題的經驗。

    情感與態度

    在他人的鼓勵與幫助下,對身邊與數學有關的某些事物有好奇心,能夠積極參與生動、直觀的數學活動。
    在他人的鼓勵與幫助下,能克服在數學活動中遇到的某些困難,獲 得成功的體驗,有學好數學的信心。
    了解可以用數和形來描述某些現象,感受數學與日常生活的密切聯系。
    經歷觀察、操作、歸納等學習數學的過程,感受數學思考過程的合理性。
    ● 
    在他人的指導下,能夠發現數學活動中的錯誤并及時改正。

    對周圍環境中與數學有關的某些事物具有好奇心,能夠主動參與教師組織的數學活動。
    在他人的鼓勵與引導下,能積極地克服數學活動中遇到的困難,有 克服困難和運用知識解 決問題的成功體驗,對自己得到的結果正確與否有一定的把握,相信自己在學習中可以取得不斷的進步。
    體驗數學與日常生活密切相關,認識到許多實際問題可以借助數學 方法來解決,并可以借助數學語言來表述和交流。
    通過觀察、操作、歸納、類比、推斷等數學活動,體驗數學問題的探索性和挑戰性,感受數學思考過程的條理性和數學結論的確定性。
    對不懂的地方或不同的觀點有提出疑問的意識,并愿意對數學問題 進行討論,發現錯誤能及時改正。

    樂于接觸社會環境中的數學信息,愿意談論某些數學話題,能夠在數學活動中發揮積極作用。
    敢于面對數學活動中的困難,并有獨立克服困難和運用知識解決問 題的成功體驗,有學好數學的自信心。
    體驗數、符號和圖形是有效地描述現實世界的重要手段,認識到數學是解決 實際問題和進行交流的重要工具,了解數學對促進社會進步和發展人類理性精神的作用。
    認識通過觀察、實驗、歸納、類比、推斷可以獲得數學猜想,體驗數學 活動充滿著探索性和創造性,感受證明的必要性、證明過程的嚴謹性以及結論的確定性。
    在獨立思考的基礎上,積極參與對數學問題的討論,敢于發表自己的觀點,并尊重與理解他人的見解;能從交流中獲益。

    第三部分內容標準 

      本部分分別闡述各個學段中數與代數”“空間與圖形”“統計與概率”“實踐與綜合應用四個領域的內容標準。
      數與代數的內容主要包括數與式、方程與不等式、函數,它們都是研究數量關系和變化規律的數學模型,可以幫助人們從數量關系的角度更準確、清晰地認識、描述和把握現實世界。
      空間與圖形的內容主要涉及現實世界中的物體、幾何體和平面圖形的形狀、大小、位置關系及其變換,它是人們更好地認識和描述生活空間并進行交流的重要工具。
      統計與概率主要研究現實生活中的數據和客觀世界中的隨機現象,它通過對數據收集、整理、描述和分析以及對事件發生可能性的刻畫,來幫助人們作出合理的推斷和預測。
      實踐與綜合應用將幫助學生綜合運用已有的知識和經驗,經過自主探索和合作交流,解 決與生活經驗密切聯系的、具有一定挑戰性和綜合性的問題,以發展他們解決問題的能力,加深對數與代數”“空間與圖形”“統計與概率內容的理解,體會各部分內容之間的聯系。

    內容結構表

    學段 

    第一學段(13年級)

    第二學段(46年級)

    第三學段(79年級)

    數與代數

    數的認識
    數的運算
    常見的量
    探索規律 

    數的認識
    數的運算
    式與方程
    探索規律

    數與式
    方程與不等式
    函數

    空間與圖形

    圖形的認識
    測量
    圖形與變換
    圖形與位置

    圖形的認識
    測量
    圖形與變換
    圖形與位置

    圖形的認識
    圖形與變換
    圖形與坐標
    圖形與證明

    統計與概率

    數據統計活動初步
    不確定現象

    簡單數據統計過程
    可能性

    統計
    概率

    實踐與綜合應用

    實踐活動

    綜合應用

    課題學習

    第一學段(13年級) 

    一、數與代數
      在本學段中,學生將學習萬以內的數、簡單的分數和小數、常見的量,體會數和運算的意義,掌握數的基本運算,探索并理解簡單的數量關系。
      在教學中,要引導學生聯系自己身邊具體、有趣的事物,通過觀察、操作、解決問題等豐富的活動,感受數的意義,體 會數用來表示和交流的作用,
      初步建立數感;應重視口算,加強估算,提倡算法多樣化;應減少單純的技能性訓練,避免繁雜計 算和程式化地敘述算理。
      (具體目標
      1.數的認識
     ?。?span>1
    )能認、讀、寫萬以內的數,會用數表示物體的個數或事物的順序和位置。 
     ?。?span>2)認識符號<,=,>的含義,能夠用符號和詞語來描述萬以內數的大小。[參 見例1
     ?。?span>3)能說出各數位的名稱,識別各數位上數字的意義。
     ?。?span>4)結合現實素材感受大數的意義,并能進行估計。[參見例2和例3
     ?。?span>5)能結合具體情境初步理解分數的意義,能認、讀、寫小數和簡單的分數。
     ?。?span>6)能運用數表示日常生活中的一些事物,并進行交流。[參見例4
      2.數的運算
     ?。?span>1)結合具體情境,體會四則運算的意義?!?span>1】
     ?。?span>2)能熟練地口算20以內的加減法和表內乘除法,會口算百以內的加減法。
     ?。?span>3)能計算三位數的加減法,一位數乘三位數、兩位數乘兩位數的乘法,三位數除以一位數的除法。
     ?。?span>4)會計算同分母分數(分母小于10)的加減運算以及一位小數的加減運算。
     ?。?span>5)能結合具體情境進行估算,并解釋估算的過程。[參見例5
     ?。?span>6)經歷與他人交流各自算法的過程。
     ?。?span>7)能靈活運用不同的方法解決生活中的簡單問題,并能對結果的合理性進行判斷。 [參見例6
      3.常見的量
     ?。?span>1)在現實情境中,認識元、角、分,并了解它們之間的關系。
     ?。?span>2)能認識鐘表,了解24時記時法;結合自己的生活經驗,體驗時間的長短。[參見例7
     ?。?span>3)認識年、月、日,了解它們之間的關系。
     ?。?span>4)在具體生活情境中,感受并認識克、千克、噸,并能進行簡單的換算。
     ?。?span>5)結合生活實際,解決與常見的量有關的簡單問題。
      4.探索規律
      發現給定的事物中隱含的簡單規律。[參見例8 

      ()案例 
      例對于50,98,38,10,51這些數,請用大一些 、小一些、大得多、小得多等語言描述它們之間的大小關系;并用表示它們的大小關系。
      例2 1 200張紙大約有多厚?1 200名學生大約能組成多少個班級?1 200步大約有多長?
      例估計一張報紙一個版面的字數。
      說明 如將報紙的一個版面折成若干等份,通過其中一份的字數來估計整個版面的字數。
      例請你說出與日常生活密切相關的一些數及其作用。 
      說明 如學號、班級號、鞋號、體重、身高等。
      例如果公園的門票每張8元,某校組織97名同學去公園玩,帶800元錢夠不夠? 
      例每條小船限乘4人,17人需要租幾條船?你認為怎樣分配才合適?
      例估計每分脈搏跳動的次數、閱讀的字數、跳繩的次數、走路的步數。
      例在下列橫線上填上合適的圖形或數字,并說明理由:

    二、空間與圖形
      在本學段中,學生將認識簡單幾何體和平面圖形,感受平移、旋轉、對稱現象,學習描述物體相對位置的一些方法,進行簡單的測量活動,建立初步的空間觀念。
      在教學中,應注重所學知識與日常生活的密切聯系;應注重使學生在觀察、操作等活動中,獲得對簡單幾何體和平面圖形的直觀經驗。
      (一) 具體目標
      1.圖形的認識
     ?。?span>1
    )通過實物和模型辨認長方體、正方體、圓柱和球等立體圖形。
     ?。?span>2)辨認從正面、側面、上面觀察到的簡單物體的形狀。[參見例1
     ?。?span>3)辨認長方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓等簡單圖形。
     ?。?span>4)通過觀察、操作,能用自己的語言描述長方形、正方形的特征。
     ?。?span>5)會用長方形、正方形、三角形、平行四邊形或圓拼圖。
     ?。?span>6)結合生活情境認識角,會辨認直角、銳角和鈍角。
     ?。?span>7)能對簡單幾何體和圖形進行分類。
      2.測量
     ?。?span>1)結合生活實際,經歷用不同方式測量物體長度的過程;在測量活動中,體會建立統一度量單位的重要性。
     ?。?span>2)在實踐活動中,體會千米、米、厘米的含義,知道分米、毫米,會進行簡單的單位換算,會恰當地選擇長度單位。[參見例2
     ?。?span>3)能估計一些物體的長度,并進行測量。
     ?。?span>4)指出并能測量具體圖形的周長,探索并掌握長方形、正方形的周長公式。[參見例3
     ?。?span>5)結合實例認識面積的含義,能用自選單位估計和測量圖形的面積,體會并認識面積單位(厘米2、米2、千米2、公頃),會進行簡單的單位換算。[參見例4
     ?。?span>6)探索并掌握長方形、正方形的面積公式,能估計給定的長方形、正方形的面積。 
      3.圖形與變換
     ?。?span>1)結合實例,感知平移、旋轉、對稱現象。[參見例5
     ?。?span>2)能在方格紙上畫出一個簡單圖形沿水平方向、豎直方向平移后的圖形。
     ?。?span>3)通過觀察、操作,認識軸對稱圖形,并能在方格紙上畫出簡單圖形的軸對稱圖形。 
      4.圖形與位置
     ?。?span>1)會用上、下、左、右、前、后描述物體的相對位置。
     ?。?span>2)在東、南、西、北和東北、西北、東南、西南中,給定一個方向(東、南、西或北) 辨認其余七個方向,并能用這些詞語描繪物體所在的方向;會看簡單的路線圖。

    ()案例
      例桌上放著一個茶壺,四位同學從各自的方向進行觀察。

      請指出下面四幅圖分別是哪位同學看到的。

      例2 1米約相當于 根鉛筆長;北京 到南京的鐵路長約1000 。
      例測量一個不規則圖形(如一片樹葉)的周長。 
      例用一張正方形的紙作單位測量課桌面的面積。
      例在下列現象中,哪些是平移或旋轉現象?
     ?。?span>1
    )方向盤的轉動; 2)水龍頭開關的轉動;
     ?。?span>3)電梯的上下移動; 4)鐘擺的運動。

    三、統計與概率 
      在本學段中,學生將對數據統計過程有所體驗,學習一些簡單的收集、整理和描述數據的方 法,能根據統計結果回答一些簡單的問題,初步感受事件發生的不確定性和可能性。
    在教學中,應注重借助日常生活中的例子,讓學生經歷簡單的數據統計過程;應注重對不確 定性和可能性的直觀感受。
    (
    )具體目標
      1.數據統計活動初步
     ?。?span>1)能按照給定的標準或選擇某個標準(如數量、形狀、顏色)對物體進行比較、排列和 分類;在比較、排列、分類的活動中,體驗活動結果在同一標準下的一致性、不同標準下的多樣性。
     ?。?span>2)對數據的收集、整理、描述和分析過程有所體驗。 
     ?。?span>3)通過實例,認識統計表和象形統計圖、條形統計圖(1格代表1個單位),并完成相應 的圖表。
     ?。?span>4)能根據簡單的問題,使用適當的方法(如計數、測量、實驗等)收集數據,并將數據 記錄在統計表中。[參見例1
     ?。?span>5)通過豐富的實例,了解平均數的意義,會求簡單數據的平均數(結果為整數)。
     ?。?span>6)知道可以從報刊、雜志、電視等媒體中獲取數據信息。
     ?。?span>7)根據統計圖表中的數據提出并回答簡單的問題,能和同伴交換自己的想法。
      2.不確定現象
     ?。?span>1)初步體驗有些事件的發生是確定的,有些則是不確定的。[參見例2
     ?。?span>2)能夠列出簡單試驗所有可能發生的結果。
     ?。?span>3)知道事件發生的可能性是有大小的。[參見例3
     ?。?span>4)對一些簡單事件發生的可能性作出描述,并和同伴交換想法。[參見例4
    (
    案例
      例調查一下你跑步后脈搏跳動會比靜止時快多少,并將測得的數據記錄下來,與同伴進行交流。
      例下列現象中,哪些是確定的?
     ?。?span>1) 下周三本地下雨;      ?。?span>2)明天有人走路。
      例隨意從放有4個紅球和1個黑球的口袋中,摸出一個球,摸到紅球的可能性與摸到黑球的可能性哪個大?
      例"一定" "經常" "偶爾" "不可能等詞語來描述生活中一些事件發生的可能性。
    四、實踐活動 
      在本學段中,學生通過實踐活動,初步獲得一些數學活動的經驗,了解數學在日常生活中的 簡單應用,初步學會與他人合作交流,獲得積極的數學學習情感。
      教學時,應首先關注學生參與活動的情況,引導學生積極思考、主動與同伴 合作、積極與他人交流,使學生增進運用數學解決簡單實際問題的信心,同時意識到自己在集體中的作用。
    (一) 具體目標
      1 經歷觀察、操作、實驗、調查、推理等實踐活動;在合作與交流的過程中,獲得良好的 情感體驗。
      2 獲得一些初步的數學實踐活動經驗,能夠運用所學的知識和方法解決簡單問題。
      3 感受數學在日常生活中的作用。
    (
    )案例
      例 某班要去當地三個景點游覽,時間為
      8001600。請你設計一個游覽計劃,包括時間安排、費用、路線等 。
      說明 學生在解決這個問題的過程中,將從事以下活動:
      了解有關信息,包括景點之間的路線圖及乘車所需時間、車型與租車費用、 同學喜愛的食品和游覽時需要的物品等;
      借助數、圖形、統計圖表等表述有關信息;
      計算乘車所需的總時間、每個景點的游覽時間、所需的總費用、每個同學需要交納的 費用等;
      分小組設計游覽計劃,并進行交流。
      通過解決這個問題,學生可以提高收 集、整理信息的能力,養成與人合作的意識。 
       

    第二學段(46年級) 


    一、數與代數 
      在本學段中,學生將進一步學習整數、分數、小數和百分數及其有關運算,進一步發展數感 ;初步了解負數和方程;開始借助計算器進行復雜計算和探索數學問題;獲得解決現實生活中簡單問題的能力。
    教學時,應通過解決實際問題進一步培養學生的數感,增進學生對
      運算意義的理解;應重視口算,加強估算,鼓勵算法多樣化;應使學生經歷從實際問 題中抽象出 數量關系,并運用所學知識解決問題的過程;應避免繁雜的運算,避免將運算與應用割裂開來,避免對應用題進行機械的程式化訓練。
    (
    )具體目標 
      1.數的認識
     ?。?span>1
    )在具體的情境中,認、讀、寫億以內的數,了解十進制計數法,會用萬、億為單位表 示大數。
     ?。?span>2)進一步認識小數和分數,認識百分數;探索小數、分數和百分數之間的關系,并會進 行轉化(不包括將循環小數化為分數)。
     ?。?span>3)會比較小數、分數和百分數的大小。
     ?。?span>4)在熟悉的生活情境中,了解負數的意義,會用負數表示一些日常生活中的問題。
     ?。?span>5)結合現實情境感受大數的意義,并能進行估計。[參見例1
     ?。?span>6)進一步體會數在日常生活中的作用,會運用數表示事物,并能進行交流。[參見 2和例3
     ?。?span>7)在1100的自然數中,能找出10以內某個自然數的所有倍數,并知道2,3,5的倍數的 特征,能找出10以內兩個自然數的公倍數和最小公倍數。
     ?。?span>8)在1100的自然數中,能找出某個自然數的所有因數,能找出兩個自然數的公因數和最大公因數。
     ?。?span>9)知道整數、奇數、偶數、質數、合數。
      2.數的運算
     ?。?span>1)會口算百以內一位數乘、除兩位數。
     ?。?span>2)能筆算三位數乘兩位數的乘法,三位數除以兩位數的除法。
     ?。?span>3)能結合現實素材理解運算順序,并進行簡單的整數四則混合運算(以兩步為主,不超 過三步)。
     ?。?span>4)探索和理解運算律,能應用運算律進行一些簡便運算。
     ?。?span>5)在具體運算和解決簡單實際問題的過程中,體會加與減、乘與除的互逆關系。
     ?。?span>6)會分別進行簡單的小數、分數(不含帶分數)加、減、乘、除運算及混合運算(以兩 步為主,不超過三步)。
     ?。?span>7)會解決有關小數、分數和百分數的簡單實際問題。
     ?。?span>8)在解決具體問題的過程中,能選擇合適的估算方法,養成估算的習慣。[參見例至例6
     ?。?span>9)能借助計算器進行較復雜的運算,解決簡單的實際問題,探索簡單的數學規律。 [參見例7
      3.式與方程
     ?。?span>1)在具體情境中會用字母表示數。
     ?。?span>2)會用方程表示簡單情境中的等量關系。
     ?。?span>3)理解等式的性質,會用等式的性質解簡單的方程(如3x+25,2x-x3)。4.正比例、反比例
     ?。?span>1)在實際情境中理解什么是按比例分配,并能解決簡單的問題。
     ?。?span>2)通過具體問題認識成正比例、反比例的量。
     ?。?span>3)能根據給出的有正比例關系的數據在有坐標系的方格紙上畫圖,并根據其中一個量的值估計另一個量的值。[參見例8
     ?。?span>4)能找出生活中成正比例和成反比例量的實例,并進行交流。
      5.探索規律
      探求給定事物中隱含的規律或變化趨勢。[參見例9和例10
    (
    案例
      例一個正常人心跳100萬次大約需要多長時間?100萬小時相當于多少年?100萬張紙有多厚?
      例某學校為每個學生編號,設定末尾用1表示男生,用2表示女生;9713321表示“1997年入學的一年級三班的32號同學,該同學是男生。那么,9532012表示的學生是哪一年入學的?幾年級幾班的?學號是多少?是男生還是女生?
      例你是否喜歡數學?如果用5,4,3,2,1分別代表 從最喜歡到最不喜歡之間的5種程度,你選哪個數?說明理由。如果小明選擇2,說明什么?如果小立比較喜歡數學,他最可能選幾?
      例李阿姨想買2袋米(每袋354)、148元的 牛肉、67元的蔬菜和128元的魚。李阿姨帶了100元,夠嗎?
      例5 92×71的結果大約是多少?12+47的結果比1大嗎?
      例估測一?;ㄉ馁|量。
      說明 可以通過稱50?;ㄉ馁|量進行估測,也可以通過數100克花生的粒數進行估測。
      例任意給定四個互不相同的數字,組成最大數和最小數,并用最大數減去最小數。對所得結果的四個數字重復上述過程,你會發現什么呢?(利用計算器)
      例彩帶每米售價4元,購買2米、3米、……彩帶分別需要多少錢?
      填一填: 

    長度/

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    ……

    價錢/

    0

    4

    ,

    ,

    ,

    ,

    ,

    ,

    ,

      把上表中長度和價錢所對應的點描在坐標紙上,再順次連接起來,并回答下列問題:
      a.所描的點是否在一條直線上?
      b.估計一下買15米的彩帶大約要花多少元?
      c.小剛買的彩帶的長度是小紅的3倍,他所花的錢是小紅的幾倍? 
      例完成序列,并說明理由。
      05, 15, 45, 。
      例10 聯歡會上,小明按照3個紅氣球、2個黃氣球、個綠氣球的順序把氣球串起來裝飾教室。你知道第16個氣球是什么顏色嗎?
      說明 解決這個問題,學生可以有多種方法。如,用A表示紅氣球,B  黃氣球,C表示綠氣球,則按照題意可以寫成AAABBCAAABBC…從而找出第16個字母,并推出第16個氣球的顏色。
    二、空間與圖形 
      在本學段中,學生將了解一些簡單幾何體和平面圖形的基本特征,進一步學習圖形變換 和確定物體位置的方法,發展空間觀念。
      在教學中,應注重使學生探索現實世界中有關空間與圖形的問題;應注重使學生通過觀察、 操作、推理等手段,逐步認識簡單幾何體和平面圖形的形狀、大小、位置關系及變換;應注重 通過觀察物體、認識方向、制作模型、設計圖案等活動,發展學生的空間觀念。 
    (一) 具體目標
      1.圖形的認識
     ?。?span>1
    )了解兩點確定一條直線和兩條相交直線確定一個點。
     ?。?span>2)能區分直線、線段和射線。
     ?。?span>3)體會兩點間所有連線中線段最短,知道兩點間的距離。
     ?。?span>4)知道周角、平角的概念及周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關系。
     ?。?span>5)結合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交(包括垂直)關系。
     ?。?span>6)通過觀察、操作,認識平行四邊形、梯形和圓,會用圓規畫圓。
     ?。?span>7)認識三角形,通過觀察、操作,了解三角形兩邊之和大于第三邊、三角形內角和是180 °。 
     ?。?span>8)認識等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。
     ?。?span>9)通過觀察、操作,認識長方體、正方體、圓柱和圓錐,認識長方體、正方體和圓柱的 展開圖。
     ?。?span>10)能辨認從不同方位看到的物體的形狀和相對位置。[參見例1
      2.測量
     ?。?span>1) 會用量角器量指定角的度數,會畫指定度數的角,會用三角尺畫30°,45°,60°,90°角。
     ?。?span>2)利用方格紙或割補等方法,探索并掌握三角形、平行四邊形和梯形的面積公式。
     ?。?span>3)探索并掌握圓的周長和面積公式。
     ?。?span>4)能用方格紙估計不規則圖形的面積。[參見例2
     ?。?span>5)通過實例,了解體積(包括容積)的意義及度量單位(米3、分米3、厘米3、升 、 毫升),會進行單位之間的換算,感受13、1厘米3以及1升、1毫升的實際意義。 
     ?。?span>6)  合具體情境,探索并掌握長方體、正方體、圓柱的體積和表面積以及圓錐體積的計算方法。 
     ?。?span>7) 探索某些實物體積的測量方法。[參見例3
      3.圖形與變換
     ?。?span>1) 用折紙等方法確定軸對稱圖形的對稱軸,能在方格紙上畫出一個圖形的軸對稱圖形。 
     ?。?span>2) 能利用方格紙等形式按一定比例將簡單圖形放大或縮小,體會圖形的相似。
     ?。?span>3) 通過觀察實例,認識圖形的平移與旋轉,能在方格紙上將簡單圖形平移或旋轉90°。 [參見例4
     ?。?span>4) 欣賞生活中的圖案,靈活運用平移、對稱和旋轉在方格紙上設計圖案。
      4.圖形與位置
     ?。?span>1) 了解比例尺;在具體情境中,會按給定的比例進行圖上距離與實際距離的換算。 
     ?。?span>2) 能根據方向和距離確定物體的位置。[參見例5
     ?。?span>3) 能描述簡單的路線圖。[參見例6
     ?。?span>4) 在具體情境中,能用數對來表示位置,并能在方格紙上用數對確定位置。[參見例7
    (
    )案例
      例1
      下面是一組立方塊:

      例下圖每個小方格為1個平方單位, 試估計曲線所圍部分的面積。

      例假設大門在教室的正南方向50米處,圖書館在教室北偏東60°方向的100米處。試畫出示意圖。
      例畫出從學校到家的路線示意圖,并注明方向及主要參照物。
      例小青坐在教室的第3行第4列,用(4,3)表示,小明坐在教室的第1行第3列應當怎樣表示?
    三、統計與概率 
      在本學段中,學生將經歷簡單的數據統計過程,進一步學習收集、整理和描述數據的方法,并根據數據分析的結果作出簡單的判斷與預測;將進一步體會事件發生可能性的含義,并能計算一些簡單事件發生的可能性。
      在教學中,應注重所學內容與現實生活的密切聯系;應注重使學生有意識地經歷簡單的數據 統計過程,根據數據作出簡單的判斷與預測,并進行交流;應注重在具體情境中對可能性的體驗;應避免單純的統計量的計算。
    (
    具體目標
      1.簡單數據統計過程
     ?。?span>1
    )經歷簡單的收集、整理、描述和分析數據的過程(必要時可使用計算器)。
     ?。?span>2)根據實際問題設計簡單的調查表。
     ?。?span>3)通過實例,進一步認識條形統計圖(1格表示多個單位),認識折線統計圖、扇形統計 圖;根據需要,選擇條形統計圖、折線統計圖直觀、有效地表示數據。
     ?。?span>4)通過豐富的實例,理解平均數、中位數、眾數的意義,會求數據的平均數、中位數、 眾數,并解釋結果的實際意義;根據具體的問題,能選擇適當的統計量表示數據的不同特征。[參見例1和例2
     ?。?span>5)能從報刊雜志、電視等媒體中,有意識地獲得一些數據信息,并能讀懂簡單的統計圖表。[參見例3
     ?。?span>6)能設計統計活動,檢驗某些預測。[參見例4
     ?。?span>7)能解釋統計結果,根據結果作出簡單的判斷和預測,并能進行交流。
     ?。?span>8)初步體會數據可能產生誤導。[參見例5
      2.可能性
     ?。?span>1)體驗事件發生的等可能性以及游戲規則的公平性,會求一些簡單事件發生的可能性。 
     ?。?span>2)能設計一個方案,符合指定的要求。[參見例6
     ?。?span>3)對簡單事件發生的可能性作出預測,并闡述自己的理由。[參見例7
    (
    案例
      例小明所在班級的學生平均身高是14米,小強 所在班級的學生平均身高是15米。 小明一定比小強矮嗎?
      例選擇適當的統計量來表示我們班同學最喜愛的顏色 。
      例在《中國日報》1999101日的國慶???,  登了有關中國城市建設在建國5 0年來的發展情況, 下面摘錄了一則中國城市數量統計圖。你從這個統計圖中獲得了哪些信息并和同學交流。    

    中國城市數量統計圖

      例估計你們班所有同學的家庭一個月內共丟棄多少個塑料袋,通過實際調查驗證你的估計。
      例某公司有15名職工,對外招聘時稱該公司職工的月平均工資超過1200元。請分析下面的統計表,你怎樣看待該公司公布的這個數?

     

     

    副經理

     

     /

    1

    2

    13

    月工資/

    5000

    2000

    800

      例在一個正方體的6個面上分別標上數字,使得“2”朝上的可能性為13。
      說明 這個正方體的6個面上的數字可以分別為1,2,2,3,4,5。 
      例調查兩支球隊以往比賽的勝負情況,預測下場比賽 誰獲勝的可能性大,并說明自己的理由。
    四、綜合應用 
      在本學段中,學生將通過數學活動了解數學與生活的廣泛聯系,學會綜合運用所學的知識和 方法解決簡單的實際問題,加深對所學知識的理解,獲得運用數學解決問題的思考方法,并能與他人進行合作交流。
      教學時,應引導學生從不同角度發現實際問題中所包含的豐富的數 學信息,探索多種解決問題的方法,并鼓勵學生嘗試獨立地解決某些簡單的實際問題。
    (一) 具體目標 
      1 有綜合運用數與運算、空間與圖形、統計與概率等相關知識解決一些簡單實際問題的成 功體驗,初步樹立運用數學解決問題的自信心。
      2 獲得綜合運用所學知識解決簡單實際問題的活動經驗和方法。
      3 初步感受數學知識間的相互聯系,體會數學的作用。
    (
    )案例
      例設計合適的包裝方式。
    (1)
    現有4盒磁帶,有幾種包裝方式?哪種方式更省包裝紙?(重疊處忽略不計)
    (2) 
    若有8盒磁帶,哪種方式更省包裝紙?(重疊處忽略不計)說明這是生活中常見的問題,通過解決這類問題可以培養學生綜合運用所學知識解決實際問題的能力。
      例上海的電視塔有多高?北京的電視塔有多高?它們的高度大約分別相當于幾個教室的高度?分別相當于多少個學生手拉手的長度?還有什么樣的辦法可以形象地描述電視塔的高度?
      說明 這個問題可以加深學生對大數的感知與認識,進一步發展數感。同 時,學生還能學習如何通過詢問、查閱資料等調查方式來收集數據。
       

    第三學段(79年級) 


    一、數與代數
      在本學段中,學生將學習實數、整式和分式、方程和方程組、不等式和不等式組、函數等知識,探索數、形及實際問題中蘊涵的關系和規律,初步掌握一些有效地表示、處理和交流數量關系以及變化規律的工具,發展符號感,體會數學與現實生活的緊密聯系,增強應用意識,提高運用代數知識與方法解決問題的能力。
      在教學中,應注重讓學生在實際背景中理解基本的數量關系和變化規律,注重使學生經歷從 實際問題中建立數學模型、估計、求解、驗證解的正確性與合理性的過程,應加強方程、不等式、函數等內容的聯系,介紹有關代數內容的幾何背景;應避免繁瑣的運算。
    (
    )具體目標
      1.數與式
     ?。?span>1
    )有理數
      ① 理解有理數的意義,能用數軸上的點表示有理數,會比較有理數的大小。
      ② 借助數軸理解相反數和絕對值的意義,會求有理數的相反數與絕對值(絕對值符號內不 含字母)。
      ③ 理解乘方的意義,掌握有理數的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算(以三步為主)。
      ④ 理解有理數的運算律,并能運用運算律簡化運算。
      ⑤ 能運用有理數的運算解決簡單的問題。
      ⑥ 能對含有較大數字的信息作出合理的解釋和推斷。[參見例1
     ?。?span>2)實數 
      ① 了解平方根、算術平方根、立方根的概念,會用根號表示數的平方根、立方根。
      ② 了解開方與乘方互為逆運算,會用平方運算求某些非負數的平方根,會用立方運算求某 些數的立方根,會用計算器求平方根和立方根。
      ③ 了解無理數和實數的概念,知道實數與數軸上的點一一對應。
      ④ 能用有理數估計一個無理數的大致范圍。[參見例2
      ⑤ 了解近似數與有效數字的概念;在解決實際問題中,能用計算器進行近似計算,并按問 題的要求對結果取近似值。
      ⑥ 了解二次根式的概念及其加、減、乘、除運算法則,會用它們進行有關實數的簡單四則 運算(不要求分母有理化)。
     ?。?span>3) 代數式
      ① 在現實情境中進一步理解用字母表示數的意義。
      ② 能分析簡單問題的數量關系,并用代數式表示。[參見例3與例4
      ③ 能解釋一些簡單代數式的實際背景或幾何意義。[參見例5
      ④ 會求代數式的值;能根據特定的問題查閱資料,找到所需要的公式,并會代入具體的值 進行計算。
     ?。?span>4)整式與分式
      ① 了解整數指數冪的意義和基本性質,會用科學記數法表示數(包括在計算器上表示)。 
      ② 了解整式的概念,會進行簡單的整式加、減運算;會進行簡單的整式乘法運算( 其中的多項式相乘僅指一次式相乘)。
      ③ 會推導乘法公式:(ab)(ab= a2b2;(ab2 = a22ab b2,了解公式的幾何背景,并能進行簡單計算。
      ④ 會用提公因式法、公式法(直接用公式不超過二次)進行因式分解(指數是正整數)。 
      ⑤ 了解分式的概念,會利用分式的基本性質進行約分和通分,會進行簡單的分式加、減、 乘、除運算。[參見例6 
      2.方程與不等式
     ?。?span>1)方程與方程組
      ① 能夠根據具體問題中的數量關系,列出方程,體會方程是刻畫現實世界的一個有效的數 學模型。
      ② 經歷用觀察、畫圖或計算器等手段估計方程解的過程。[參見例7
      ③ 會解一元一次方程、簡單的二元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程(方程中 的分式不超過兩個)。
      ④ 理解配方法,會用因式分解法、公式法、配方法解簡單的數字系數的 一元二次方程。
      ⑤ 能根據具體問題的實際意義,檢驗結果是否合理。
     ?。?span>2)不等式與不等式組
      ① 能夠根據具體問題中的大小關系了解不等式的意義,并探索不等式的基本性質。
      ② 會解簡單的一元一次不等式,并能在數軸上表示出解集。會解由兩個一元一次不等式組 成的不等式組,并會用數軸確定解集。
      ③ 能夠根據具體問題中的數量關系,列出一元一次不等式和一元一次不等式組,解決簡單 的問題。
      3.函數
     ?。?span>1)探索具體問題中的數量關系和變化規律[參見例8
     ?。?span>2)函數
      ① 通過簡單實例,了解常量、變量的意義。
      ② 能結合實例,了解函數的概念和三種表示方法,能舉出函數的實例。
      ③ 能結合圖像對簡單實際問題中的函數關系進行分析。[參見例9
      ④ 能確定簡單的整式、分式和簡單實際問題中的函數的自變量取值范圍,并會求出函數值 。
      ⑤ 能用適當的函數表示法刻畫某些實際問題中變量之間的關系。[參見例10
      ⑥ 結合對函數關系的分析,嘗試對變量的變化規律進行初步預測。[參見例11
     ?。?span>3)一次函數
      ① 結合具體情境體會一次函數的意義,根據已知條件確定一次函數表達式。
      ② 會畫一次函數的圖象,根據一次函數的圖象和解析表達式y=kx+bk≠0)探索并理解其性質(k0k<0時,圖象的變化情況 =。
      ③ 理解正比例函數。
      ④ 能根據一次函數的圖象求二元一次方程組的近似解。
      ⑤ 能用一次函數解決實際問題。
     ?。?span>4)反比例函數
      ① 結合具體情境體會反比例函數的意義,能根據已知條件確定反比例函數表達式。
      ② 能畫出反比例函數的圖象,根據圖象和解析表達式y=kxk≠0 )探索并理解其性質(k>0k<0時,圖象的變化)。
      ③ 能用反比例函數解決某些實際問題。
     ?。?span>5)二次函數
      ① 通過對實際問題情境的分析確定二次函數的表達式,并體會二次函數的意義。
      ② 會用描點法畫出二次函數的圖象,能從圖象上認識二次函數的性質。
      ③ 會根據公式確定圖象的頂點、開口方向和對稱軸(公式不要求記憶和推導),并能解決 簡單的實際問題。
      ④ 會利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解。
    (
    )案例
      例一次水災中,大約有20萬人的生活受到影響,災情 將持續一個月。請推斷:大約需要組織多少頂帳篷?多少噸糧食?
      說明 假如平均一個家庭有4口人,那么20萬人需要5萬頂帳篷;假如一個 人平均一天需要05千克的糧食,那么一天需要10萬千克的糧食…… 
    估計√ 5 -1 0.5哪個大
          
      例在某地,人們發現某種蟋蟀叫的次數與溫度之間有 如下的近似關系:記錄蟋蟀每分叫 的次數,用這個次數除以7,然后再加上3,就得到當時的溫度。溫度()與蟋蟀每分叫的次數之間的關系是:
    溫度 = 蟋蟀每分叫的次數 ÷7+3。
      試用字母表示這一關系。

    觀察下列圖形并填表:

     

    梯形個數

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    ……

    n

     

    5

    8

    11

    14

    ……

    ,

    ,

    ,

      例對代數式3a作出解釋。
      說明 如葡萄的價格是3/千克,買千克的葡萄需3a元;或正三角形的 邊長為a,這個三角形的周長是3a。
      例化簡: (1)x2-4x+4 ; (2)x-2 x+2
              x2-4    x+2  x-2
      例估計下列方程的解:
     ?。?span>1
    x3-9=0; 2x2+2x-10=0。
      例8 5名同學參加乒乓球賽,每兩名同學之間賽一 場,一共需要多少場比賽?10名同學呢?
      說明 可以用列舉、畫圖等方法。
      例小明的父母出去散步,從家走了20分到一個離家90 0米的報亭,母親隨即按原速返 回。父親看了10分報紙后,用了15分返回家。下面的圖形中哪一個表示父親離家的時間與距離之間的關系?哪一個表示母親離家的時間與距離之間的關系?

    0

    10

    20

    30

    40

    50

    時間/

    0

    10

    20

    30

    40時間/

      例10 某書定價8元,如果購買10本以上、超過10本的部分打八折。試分析并表達出購書數量與付款金額之間的關系。
      例11 填表并觀察下列兩個函數的變化情況:

    x

    1

    2

    3

    4

    5

    ……

    y1=50+x

    ,

    ,

    ,

    ,

    ,

    ,

    Y2=5x 

    ,

    ,

    ,

    ,

    ,

    ,

     ?。?span>1)在同一個直角坐標系中畫出上面兩個函數的圖象,比較它們有什么不同;
     ?。?span>2)當x1開始增大時,預測哪一個函數的值先到達100。
    二、空間與圖形
      在本學段中,學生將探索基本圖形(直線形、圓)的基本性質及其相互關系,進一步豐富對空間圖形的認識和感受,學習平移、旋轉、對稱的基本性質,欣賞并體驗變換在現實生活中的廣泛應用,學習運用坐標系確定物體位置的方法,發展空間觀念。
      推理與論證的學習從以下幾個方面展開:在探索圖形性質、與他人合作交流等活動過程中,發展合情推理,進一步學習有條理地思考與表達;在積累了一定的活動經驗與掌握了一定的圖形性質的基礎上,從幾個基本的事實出發,證明一些有關三角形、四邊形的基本性質,從而體會證明的必要性,理解證明的基本過程,掌握用綜合法證明的格式,初步感受公理化思想。
      在教學中,應注重所學內容與現實生活的聯系,注重使學生經歷觀察、操作、推理、想像等探索過程;應注重對證明本身的理解,而不追求證明的數量和技巧。證明 的要求控制在《標準》所規定的范圍內。
    (一)具體目標
      1.圖形的認識
      (1) 點、線、面
      通過豐富的實例,進一步認識點、線、面(如交通圖上用點表示城市,屏幕上的畫面是由 點組成的)。
     ?。?span>2)角
      通過豐富的實例,進一步認識角。
      會比較角的大小,能估計一個角的大小,會計算角度的和與差,認識度、分、秒,會進行 簡單換算。
      了解角平分線及其性質【1
     ?。?span>3)相交線與平行線
      了解補角、余角、對頂角,知道等角的余角相等、等角的補角相等、對頂角相等。
      了解垂線、垂線段等概念,了解垂線段最短的性質,體會點到直線距離的意義。
      知道過一點有且僅有一條直線垂直于已知直線,會用三角尺或量角器過一點畫一條直線的垂線。
      了解線段垂直平分線及其性質【1 。
      知道兩直線平行同位角相等,進一步探索平行線的性質。
      知道過直線外一點有且僅有一條直線平行于已知直線,會用三角尺和直尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線。
      體會兩條平行線之間距離的意義,會度量兩條平行線之間的距離。
     ?。?span>4)三角形
      了解三角形有關概念(內角、外角、中線、高、角平分線),會畫出任意三角形的角平分線、中線和高,了解三角形的穩定性。
      探索并掌握三角形中位線的性質。
      了解全等三角形的概念,探索并掌握兩個三角形全等的條件。
      了解等腰三角形的有關概念,探索并掌握等腰三角形的性質【2】和一個三角 形是等腰三角形的條件[3];了解等邊三角形的概念并探索其性質。
      了解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性質[4]和一個三角形是直角三角形的條件[5
    體驗勾股定理的探索過程,會運用勾股定理解決簡單問題;會用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
     ?。?span>5)四邊形
      ① 探索并了解多邊形的內角和與外角和公式,了解正多邊形的概念。
      ② 掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性質,了解它們之間的關系 ;了解四邊形的不穩定性。
      探索并掌握平行四邊形的有關性質[1]和四邊形是平行四邊形的條件[2 。
      探索并掌握矩形、菱形、正方形的有關性質[3]和四邊形是矩形、菱形、正方形的條件[4]。
      探索并了解等腰梯形的有關性質[5]和四邊形是等腰梯形的條件。[6
      探索并了解線段、矩形、平行四邊形、三角形的重心及物理意義(如一根均勻木棒、一塊均勻的矩形木板的重心)。
      通過探索平面圖形的鑲嵌,知道任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面, 并能運用這幾種圖形進行簡單的鑲嵌設計。
     ?。?span>6)圓
      理解圓及其有關概念,了解弧、弦、圓心角的關系,探索并了解點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關系。
      探索圓的性質,了解圓周角與圓心角的關系、直徑所對圓周角的特征。
      了解三角形的內心和外心。
      了解切線的概念,探索切線與過切點的半徑之間的關系;能判定一條直線是否為圓的切線,會過圓上一點畫圓的切線。 
      會計算弧長及扇形的面積,會計算圓錐的側面積和全面積。
     ?。?span>7)尺規作圖
      ① 完成以下基本作圖:作一條線段等于已知線段,作一個角等于已知角,作角的平分線,作線段的垂直平分線。
      ② 利用基本作圖作三角形:已知三邊作三角形;已知兩邊及其夾角作三角形; 已知兩角及其夾邊作三角形;已知底邊及底邊上的高作等腰三角形。
      ③ 探索如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓。
      ④ 了解尺規作圖的步驟,對于尺規作圖題,會寫已知、求作和作法(不要求證明)。
     ?。?span>8)視圖與投影
      ① 會畫基本幾何體(直棱柱、圓柱、圓錐、球)的三視圖(主視圖、左視圖、俯視圖 ),會判斷簡單物體的三視圖,能根據三視圖描述基本幾何體或實物原型。
      ② 了解直棱柱、圓錐的側面展開圖,能根據展開圖判斷和制作立體模型。
      了解基本幾何體與其三視圖、展開圖(球除外)之間的關系;通過典型實例,知道這種關系在現實生活中的應用(如物體的包裝)。
      觀察與現實生活有關的圖片(如照片、簡單的模型圖、平面圖、地圖等),了解并欣賞一些有趣的圖形(如雪花曲線、莫比烏斯帶)。
      通過背景豐富的實例,知道物體的陰影是怎么形成的,并能根據光線的方向辨認實物的陰 影(如在陽光或燈光下,觀察手的陰影或人的身影)。
      了解視點、視角及盲區的涵義,并能在簡單的平面圖和立體圖中表示。
      通過實例了解中心投影和平行投影。
      2.圖形與變換
     ?。?span>1)圖形的軸對稱
      通過具體實例認識軸對稱,探索它的基本性質,理解對應點所連的線段被對稱軸垂直平分的性質。
      能夠按要求作出簡單平面圖形經過一次或兩次軸對稱后的圖形;探索簡單圖形之間的軸對稱關系,并能指出對稱軸。[參見例1
      探索基本圖形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓)的軸對稱性及其相關性質。
      欣賞現實生活中的軸對稱圖形,結合現實生活中典型實例了解并欣賞物體的鏡面對稱,能利用軸對稱進行圖案設計。
     ?。?span>2)圖形的平移
      通過具體實例認識平移,探索它的基本性質,理解對應點連線平行且相等的性質。
      能按要求作出簡單平面圖形平移后的圖形。
      利用平移進行圖案設計,認識和欣賞平移在現實生活中的應用。
     ?。?span>3)圖形的旋轉
      通過具體實例認識旋轉,探索它的基本性質,理解對應點到旋轉中心的距離相等、對應點與旋轉中心連線所成的角彼此相等的性質。
      ② 了解平行四邊形、圓是中心對稱圖形。
      ③ 能夠按要求作出簡單平面圖形旋轉后的圖形。
      ④ 欣賞旋轉在現實生活中的應用。
      ⑤ 探索圖形之間的變換關系(軸對稱、平移、旋轉及其組合)。[參見例2和例3
      ⑥ 靈活運用軸對稱、平移和旋轉的組合進行圖案設計。
     ?。?span>4) 圖形的相似
      ① 了解比例的基本性質,了解線段的比、成比例線段,通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割。 
      ② 通過具體實例認識圖形的相似,探索相似圖形的性質,知道相似多邊形的對應角相等,對應邊成比例,面積的比等于對應邊比的平方。
      ③ 了解兩個三角形相似的概念,探索兩個三角形相似的條件。
      ④ 了解圖形的位似,能夠利用位似將一個圖形放大或縮小。
      ⑤ 通過典型實例觀察和認識現實生活中物體的相似,利用圖形的相似解決一些實際問題( 如利用相似測量旗桿的高度)。
      ⑥ 通過實例認識銳角三角函數(sin A,cos A,tan A),知道30°,45°, 60°角的三角函 數值;會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值,由已知三角函數值求它對應的銳角。 
      ⑦ 運用三角函數解決與直角三角形有關的簡單實際問題。
      3.圖形與坐標 
     ?。?span>1) 認識并能畫出平面直角坐標系;在給定的直角坐標系中,會根據坐標描出點的位置、 由點的位置寫出它的坐標。[參見例4
     ?。?span>2) 能在方格紙上建立適當的直角坐標系,描述物體的位置。[參見例5
     ?。?span>3) 在同一直角坐標系中,感受圖形變換后點的坐標的變化。[參見例6
     ?。?span>4) 靈活運用不同的方式確定物體的位置。[參見例7
      4.圖形與證明
     ?。?span>1)了解證明的含義
      ① 理解證明的必要性。
      ② 通過具體的例子,了解定義、命題、定理的含義,會區分命題的條件(題設)和結論。
      ③ 結合具體例子,了解逆命題的概念,會識別兩個互逆命題,并知道原命題成立其逆命題不一定成立。
      ④ 通過具體的例子理解反例的作用,知道利用反例可以證明一個命題是錯誤的。
      ⑤ 通過實例,體會反證法的含義。
      ⑥ 掌握用綜合法證明的格式,體會證明的過程要步步有據。
     ?。?span>2)掌握以下基本事實,作為證明的依據
      ① 一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等。
      ② 兩條直線被第三條直線所截,若同位角相等,那么這兩條直線平行。
      ③ 若兩個三角形的兩邊及其夾角(或兩角及其夾邊,或三邊)分別相等,則這兩個三角形全 等。
      ④ 全等三角形的對應邊、對應角分別相等。
     ?。?span>3)利用(2)中的基本事實證明下列
      命題[1
      ① 平行線的性質定理(內錯角相等、同旁內角互補)和判定定理(內錯角相等或同旁內角互補,則兩直線平行)。
      ② 三角形的內角和定理及推論(三角形的外角等于不相鄰的兩內角的和,三角形的外角大 于任何一個和它不相鄰的內角)。
      ③ 直角三角形全等的判定定理。
      ④ 角平分線性質定理及逆定理;三角形的三條角平分線交于一點(內心)。
      ⑤ 垂直平分線性質定理及逆定理;三角形的三邊的垂直平分線交于一點(外心)。
      ⑥ 三角形中位線定理。
      ⑦ 等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質和判定定理。
      ⑧ 平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性質和判定定理。
     ?。?span>4)通過對歐幾里得《原本》的介紹,感受幾何的演繹體系對數學發展和人類文明的價值 
    (
    )案例
      例以樹干為對稱軸,畫出樹的另一半。

      例請說出下面乙樹是怎樣由甲樹變換得到的。 

      例觀察下面的圖案,它可以看成是由哪個圖形經過怎樣的變換產生的?

      例在坐標系中描出下列各點,并將各組的點順次連接起來:
      ① 2,0),(4,0),(6,2),(6,6),(5,8),(4,6),
       ?。?span>2
    ,6),(1,8),(0,6),(0,2),(2,0);
      ② 1,3),(2,2),(4,2),(5,3);
      ③ 1,4),(2,4),(2,5),(1,5),(1,4);
      ④ 4,4),(5,4),(5,5),(4,5),(4,4);
      ⑤ 3,3)。
      觀察這個圖形,你覺得它像什么? 
      例下圖是某市旅游景點的示意圖。試建立直角坐標系 ,用坐標表示各個景點的位置:

      例如圖所示,在直角坐標系下,圖1中的圖案“A”經過變換分別變成圖2至圖6中的相應圖案(虛線對應于原圖案),試寫出圖2至圖6中各頂點的坐標,探索每次變換前后圖案發生了什么變化、對應點的坐標之間有什么關系。

      例張堅在某市動物園的大門口看到這個動物園的平面示意圖(如下圖)。試借助刻度尺、量角器解決如下問題:
     ?。?span>1
    )建立適當的直角坐標系,用坐標表示猴山、駝峰、百鳥園的位置;
     ?。?span>2)填空:
      百鳥園在大門的北偏東  度的方向上,到大門的圖上距離約為  厘米;
      熊貓館在大門的北偏  度的方向上,到大門的圖上距離約為  厘米;
      駝峰在大門的南偏  度的方向上,到大門的圖上距離約為  厘米。
      說明 本題旨在讓學生體會除用直角坐標系描述物體的位置外,還可以選定某個參照物和某個方向,用距離和角度來刻畫物體的位置。
    三、統計與概率
      在本學段中,學生將體會抽樣的必要性以及用樣本估計總體的思想,進一步學習描述數據的方法,進一步體會概率的意義,能計算簡單事件發生的概率。
      在教學中,應注重所學內容與日常生活、自然、社會和科學技術領域的聯系,使學生體會統計與概率對制定決策的重要作用;應注重使學生從事數據處理的全過程,根據統計結果作出合理的判斷;應注重使學生在具體情境中體會概率的意義;應加強統計與概率之間的聯系;應避免將這部分內容的學習變成數字運算的練習,對有關術語不要求進行嚴格表述。
    (
    )具體目標
      1.統計
     ?。?span>1)從事收集、整理、描述和分析數據的活動,能用計算器處理較為復雜的統計數據。
     ?。?span>2)通過豐富的實例,感受抽樣的必要性,能指出總體、個體、樣本,體會不同的抽樣可 能得到不同的結果。[參見例1
     ?。?span>3)會用扇形統計圖表示數據。
     ?。?span>4)在具體情境中理解并會計算加權平均數;根據具體問題,能選擇合適的統計量表示數 據的集中程度。
     ?。?span>5)探索如何表示一組數據的離散程度,會計算極差和方差,并會用它們表示數據的離散 程度。[參見例2
     ?。?span>6)通過實例,理解頻數、頻率的概念,了解頻數分布的意義和作用,會列頻數分布表,畫頻數分布直方圖和頻數折線圖,并能解決簡單的實際問題。
     ?。?span>7)通過實例,體會用樣本估計總體的思想,能用樣本的平均數、方差來估計總體的平均數和方差。
     ?。?span>8)根據統計結果作出合理的判斷和預測,體會統計對決策的作用,能比較清晰地表達自己的觀點,并進行交流。
     ?。?span>9)能根據問題查找有關資料,獲得數據信息;對日常生活中的某些數據發表自己的看法 。
     ?。?span>10)認識到統計在社會生活及科學領域中的應用,并能解決一些簡單的實際問題。[ 參見例3
      2.概率
     ?。?span>1)在具體情境中了解概率的意義,運用列舉法(包括列表、畫樹狀圖)計算簡單事件發生的概率。[參見例4和例5
     ?。?span>2)通過實驗,獲得事件發生的頻率;知道大量重復實驗時頻率可作為事件發生概率的估計值。[參見例6
     ?。?span>3)通過實例進一步豐富對概率的認識,并能解決一些實際問題。[參見例7 
    (
    )案例
      例電視臺需要在本市調查某節目的收視率,每個看電 視的人都要被問到嗎?對一所大學學生的調查結果能否作為該節目的收視率?你認為對不同社區、年齡層次、文化背景的人所做的調查結果會一樣嗎?
      例下面是兩個水果店16月份的銷售情況(單位 :千克),比較兩個水果店銷售量的穩定性。

    ,

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    甲商店

    450

    440

    480

    420

    580

    550

    乙商店

    480

    440

    470

    490

    520

    520

      例統計某商店一個月內幾種商品的銷售情況,對這個商店的進貨提出你的建議。
      例一個袋中裝有2個黃球和2個紅球,任意摸出一個球后放回,再任意摸出一個球,求兩次都摸到紅球的概率。
      例如圖轉動轉盤,求轉盤停止轉動時指針指向陰影部分的概率。 

    通過實驗獲得圖釘從一定高度落下后釘尖著地的頻率。

     例一個游戲的中獎率是1%,買100張獎券,一定 會中獎嗎?
    四、課題學習 
      在本學段中,學生將探討一些具有挑戰性的研究課題,發展應用數學知識解 決問 題的意識和能力;同時,進一步加深對相關數學知識的理解,認識數學知識之間的聯系。
      在前兩個學段的基礎上,教學時應引導學生結合生, 活經驗提出課題、積極地思考所面臨的課題、清楚地表達自己的觀點并能夠解決一些問題。
    (
    )具體目標 
      1.經歷問題情境-建立模型-求解-解釋與應用的基本過程。
      2.體驗數學知識之間的內在聯系,初步形成對數學整體性的認識。
      3.獲得一些研究問題的方法和經驗,發展思維能力,加深理解相關的數學知識。
      4.通過獲得成功的體驗和克服困難的經歷,增進應用數學的自信心。
    (
    )案例
      例 用一張正方形的紙制作一個無蓋的長方體,怎樣制作使得體積較大?
      說明 這是一個綜合性的問題,學生可能會從以下幾個方面進行思考:① 無蓋長方體展開后是什么樣?用一張正方形的紙怎樣才能制作一個無蓋長方體?基本的操作步驟是什么?制成的無蓋長方體的體積應當怎樣去表達?什么情況下無蓋長方體的體積會較大?如果是用一 張正方形的紙制作一個有蓋的長方體,怎樣去制作?制作過程中的主要困難可能是什么?
      通過這個主題的學習,學生進一步豐富自己的空間觀念,體會函數思想以及符號表示在實際問題中的應用,進而體驗從實際問題抽象出數學問題、建立數學模型、綜合應用已有的知識解決問題的過程,并從中加深對相關知識的理解、發展自己的思維能力。

    第四部分 課程實施建議
    第一學段(13年級) 

    一、教學建議
      數學教學是數學活動的教學,是師生之間、學生之間交往互動與共同發展的過程。
      數學教學,要緊密聯系學生的生活實際,從學生的生活經驗和已有知識出發,創設生動有趣的情境,引導學生開展觀察、操作、猜想、推理、交流等活動,使學生通過數學活動,掌握基本的數學知識和技能,初步學會從數學的角度去觀察事物、思考問題,激發對數學的興趣,以及學好數學的愿望。
      教師是學生數學活動的組織者、引導者與合作者;要根據學生的具體情況,對教材進行再加工,有創造地設計教學過程;要正確認識學生個體差異,因材施教,使每個學生都在原有的基礎上得到發展;要讓學生獲得成功的體驗,樹立學好數學的自信心。 
      ()讓學生在生動具體的情境中學習數學
      在本學段的教學中,教師應充分利用學生的生活經驗,設計生動有趣、直觀形象的數學 教學活動,如運用講故事、做游戲、直觀演示、模擬表演等,激發學生的學習興趣,讓學生在生動具體的情境中理解和認識數學知識。例如,教師可引導學生進行如下的游戲活動。 
      例兩個同學一組做猜數游戲。
      甲:我想了一個兩位數,你猜猜是多少
      乙:這個數比50大嗎?
      甲:對。 
      乙:比70小嗎?
      甲:對。 
      乙:比60大嗎?
      甲:不對。 
      乙:比56大嗎?
      ……
      教師可以利用上述游戲,引導學生開展有趣的數學活動,使學生在體會數的大小的同時,還能學到一種解決問題的有效策略,其中包含著樸素的用"區間套"逐步逼近的思想。
      ()引導學生獨立思考與合作交流
      動手實踐、自主探索、合作交流是學生學習數學的重要方式。在本學段的教學中,教師要讓學生在具體的操作活動中進行獨立思考,鼓勵學生發表自己的意見,并與同伴進行交流。教師應提供適當的幫助和指導,善于選擇學生中有價值的問題或意見,引導學生開展討論,以尋找問題的答案。
      例旋轉轉盤(見下圖),指針落在陰影區域的可能性大,還是落在白色區域的可能性大?

      在教學中,教師可以首先將學生分組,讓每一個學生預先猜測指針會停在哪一個區域內,然后動手旋轉轉盤。學生在親自旋轉轉盤的過程中體會到,當轉盤沒有停下來以前,指針落在陰影區域還是落在白色區域是不確定的,通過多次旋轉后,學生逐漸體會到指針落在 陰影區域和落在白色區域的次數不一樣,停在白色區域的次數比落在陰影區域的次數要多,即指針落在白色區域的可能性比指針落在陰影區域的可能性大。在學生動手操作的基礎上,教師可以引導學生開展討論,交流自己的感受。
      在空間與圖形部分的教學中,教師應設計豐富多彩的活動,使學生通過觀察、測量、折 疊、討論,進一步了解自己所生活的空間,認識一些常見的幾何體與平面圖形。例如,在辨認長方體、正方體、圓柱和球的教學中,教師應從學生熟悉的實物(如籃球、乒乓球、飲料 瓶、萬花筒、粉筆盒、牙膏盒、地球儀等)中選取素材,鼓勵學生進行觀察、觸摸、分類等活動,形成對有關幾何體的直觀感受。又如,教學中可以設計下面的活動:讓4名同學分別坐在4個方向,觀察同一個物體(如水壺、茶杯等),先把自己看到的畫下來,然后組織學生交流,猜一猜某幅畫是誰畫的,他坐在哪個位置。學生通過觀察、比較、想像,體會到在 不同的方向看到的是不一樣的,逐步發展空間觀念。
      ()加強估算,鼓勵算法多樣化 
      估算在日常生活中有著十分廣泛的應用,在本學段教學中,教師要不失時機地培養學生的估 算意識和初步的估算技能。
      例小明家養雞的收入是243元,養豬的收入是479 元。估計這兩項收入一共多少元?
      不同學生的估算策略可能有所不同,有的學生認為:“200400等于600,4379大于100 ,因此它們的和比700多一點;有的學生估算的方法可能是:“243小于250,479小于500 ,因此它們的和比750;有的學生可能說:這個數比200400大,比300500 , 這些都是正確的。教師應組織學生交流各自的估算方法,比較各自估算的結果,逐步發展學生的估算意識與策略。
      由于學生生活背景和思考角度不同,所使用的方法必然是多樣的,教師應尊重學生的想法, 鼓勵學生獨立思考,提倡計算方法的多樣化。如對于計算34+27的問題,學生可以采取多種方法,以下列舉的方法都應當受到鼓勵。

      教師不要急于評價各種算法,應引導學生通過比較各種算法的特點,選擇適合于自己的方法。
      又如,解決"在開家長會時,每張長凳最多坐5人,33位家長至少需要準備幾張長凳" 個問題時,學生的思考方法可能是多樣的。有的學生借助學具,用小棒代表長凳,用圓片代表家長,在操作中得出至少應準備7張長凳;有的學生通過計算33÷5,判斷至少應準備7張長凳;有的學生則用乘法,5×735,3533,而5×630,3033,因此至少要準備7張長凳。對于這些方法,教師都應該加以鼓勵,并為學生提供交流的機會,使學生在相互交流 中不斷完善自己的方法。這樣不僅可以幫助教師了解不同學生的學習特點,而且有助于促進學生個性的發展。同時,教師應經常要求學生思考這樣的問題:你是怎樣想的?剛才你是怎么做的?如果……怎么樣?出現什么錯誤了?你認為哪個辦法更好?……以此來引導學生思考并交流解決問題的方法。
      ()培養學生初步的應用意識和解決問題的能力在本學段的教學中,教師應該充分利用學生已有的生活經驗,隨時引導學生把所學的數學知識應用到生活中去,解決身邊的數學問題,了解數學在現實生活中的作用,體會學習數學的重要性。例如,教師可以引導學生解決如下的開放性問題。
      例4 27人乘車去某地,可供租的車輛有兩種:一種 車可乘8人,另一種車可乘4人。
     ?。?span>1
     給出3種以上的租車方案;
     ?。?span>2) 第一種車的租金是300/天,第二種車的租金是200/天,哪種方案費用最少?
      實踐活動是培養學生進行主動探索與合作交流的重要途徑。在本學段,教師應組織學生開展生動有趣的活動,使學生經歷觀察、操作、推理、交流等過程。 
    二、評價建議
      評價的目的是全面了解學生的學習狀況,激勵學生的學習熱情,促進學生的全面發展。評價也是教師反思和改進教學的有力手段。 
      對學生數學學習的評價,既要關注學生知識與技能的理解和掌握,更要關注他們情感與態度 的形成和發展;既要關注學生數學學習的結果,更要關注他們在學習過程中的變化和發展。評價的手段和形式應多樣化,應以過程評價為主。對評價結果的描述,應采用鼓勵性語言,發揮評價的激勵作用。評價要關注學生的個性差異,保護學生的自尊心和自信心。教師要善于利用評價所提供的大量信息,適時調整和改善教學過程。 
      (注重對學生數學學習過程的評價 
      本學段對學生學習過程的評價,應該考察學生是否積極主動地參與數學學習活動,是否樂意與同伴進行交流和合作,是否具有學習數學的興趣。教師還應重視了解學生數學思考的過程,可以讓學生在解決問題時,說一說他的思考過程。
      例測一測,你能將實心球投多遠?
      在上述活動中,我們首先要考察學生的參與程度,了解學生能否獨立地提出測量的方案,能否與他人合作共同解決問題,能否將自己的方法和解決問題的過程與他人進行交流。同時也要了解學生在活動中運用知識解決問題和進行數學思考的情況。學生可能有以下幾種表現:(1)按照教師指導的方法進行測量;(2)自己想出其他的測量方法(如步測、用繩子量、用米尺量、用卷尺量等);(3)通過小組合作,探索用多種方法進行測量,交流不同的測 量方法;(4)用多種方法測量,并簡單地解釋測量方法的合理性。 比如,如果一個學生投 出的距離超過了3米,用米尺量這段距離會有一定的誤差,因為量的過程可能不是一條直線 ,而用卷尺量更精確一些。 教師可以根據學生在活動過程中的上述表現進行分析和評價。 
      在評價學生的學習過程時,可以采用建立成長記錄袋的方式,以反映學生學習數學的進步歷程,以增強他們學好數學的信心。教師可以引導學生自己在成長記錄袋中收錄反映學習進步的重要資料,如最滿意的作業、最喜愛的小制作、印象深刻的問題和解決過程、閱讀數學讀 物的體會,等等。
      (恰當評價學生基礎知識和基本技能的理解和掌握 
      本學段對基礎知識和基本技能的評價,應遵循《標準》的基本理念,以本學段的知識與技能目標為基準,考察學生對基礎知識和基本技能的理解和掌握程度。 
      應當強調的是,學段目標是本學段結束時學生應達到的目標,應允許一部分學生經過一段時間的努力,隨著知識與技能的積累逐步達到。如,下表所列出的對計算的要求,并不是在學完相應的內容后所有學生都應馬上達到,而是在本學段結束時應達到的目標,評價時應注意把握尺度。 

    學習內容

    速度要求

    20以內的加減法和表內乘除法口算

    每分810

    三位數以內的加減法

    每分23

    兩位數乘兩位數

    每分12

    除數是一位數、被除數不超過三位數的除法

    每分12


      本學段學生往往需要借助具體事物或實物模型完成學習任務。因此,對學生評價時,應重點考察學生結合具體材料對所學內容實際意義的理解。 
      對數與代數內容的評價,應結合具體情境,考察兒童對數的意義的理解。比如對分數意義的理解可以在以下的情境中進行考察。
      例1)下圖中陰影部分占整個圖形的幾分之幾

     ?。?span>2)請你用圖形表示四分之一。
      對空間與圖形內容的評價,要結合直觀素材和生活情境評價學生對圖形的認識。如,可利用下面的問題考察學生的空間觀念。

      對統計與概率內容的評價,應結合生活情境考察學生初步的統計意識和解決簡單問題的能力。如在準備班級活動時,為了確定要購買水果的種類和數量,可讓學生調查全班同學最喜歡吃的水果種類和相應人數。在評價時,可以主要考察以下幾方面:學生能否在教師的指導和幫助下,運用適當的方法去收集喜歡吃各種水果的人數;在收集數據的基礎上,能否將這些 數據進行分類、整理和描述(如能說出"我們班喜歡吃蘋果的人數最多,喜歡吃梨的人數還不到喜歡吃蘋果的人數的一半"等等);能否確定自己的購買方案。 
      (重視對學生發現問題和解決問題能力的評價對學生發現問題和解決問題能力的評價,要注意考察學生能否在教師指導下,從日常生活中 發現并提出簡單的數學問題;能否選擇適當的方法解決問題;是否愿意與同伴合作解決問題;能否表達解決問題的大致過程和結果。如,教師可以讓學生從日常生活中提出各種問題:誰的鉛筆多,誰的個子高,誰的家離學校近……教師可以根據學生提出問題的數量和質量,給予定性評價。
      ()評價方式要多樣化
      這一學段的兒童剛剛進入學校,他們對數學的感受對于今后是否喜歡數學學習、能否學好數學十分關鍵。因此,教師對兒童的評價應盡量從正面加以引導,肯定他們知道了什么、掌握了什么。對學生進行評價時,應把教師評價與同伴互評和家長評價相結合。對學生學習情況的評價應注意多種評價形式相結合,采用課堂觀察、課后訪談、作業分析、操作、實踐活動等多種形式。
      每種評價方式都有自己的特點,評價時應結合評價內容與學生學習的特點加以選擇。比如,教師可以選擇課堂觀察的方式,從學習數學的認真程度,基礎知識和基本技能的掌握情況,解決問題和合作交流四個方面對學生進行考察。教師還可以從學習活動中了解學生的學習態度和合作交流的意識,從平時作業中了解學生計算技能的掌握情況,從成長記錄中了解學生提出問題和解決問題能力的發展。
      ()評價結果以定性描述的方式呈現
      針對本學段學生的特點,評價結果的呈現應采用定性描述的方式,用鼓勵性的語言描述學生數學學習的情況。
      下面是一個評語的例子:小紅在本學期數學學習中,能認真完成每一次作業,積極參與小組的討論,愿意傾聽其他同學的發言。樂于提出問題,常常能想出與同學不同的方法解決問題。在計算的正確性方面需要進一步提高。這樣的評語以鼓勵為主,同時也指出了學生需要努力的方向。
    三、教材編寫建議
      教材為學生的學習活動提供了基本線索,是實現課程目標、實施教學的重要資源。教材編寫 應以《標準》為基本依據,要充分提供有趣的、與兒童生活背景有關的素材,題材宜多樣化,呈現方式應豐富多彩。教材的編寫應有助于確立學生在教學過程中的主體地位,激發學生的學習興趣,引導學生在積極思考與合作交流中獲得良好的情感體驗,建構自己的數學知識。教材的編寫還要有利于調動教師的能動性,創造性地進行教學。
      考慮到不同學生之間的差異,在保證基本要求的前提下,教材應體現出自己的特色,并具有 一定的彈性。教材編寫時,應充分考慮與其他課程資源的開發和利用相結合。
      ()選取密切聯系學生生活、生動有趣的素材
      在本學段教材編寫中,應力求從學生熟悉的生活情境與童話世界出發,選擇學生身邊的、感興趣的事物,提出有關的數學問題,以激發學生學習的興趣與動機,使學生初步感受數學與日常生活的密切聯系。
      教材所選取的素材,要使得學生能比較容易地找到相應的實物或者模型。例如,對于統 計內容的學習,可以選取文具、玩具、食物、水果、校園里的事物作為統計對象;對于概率內容的學習,可以把1支紅小棒、5支白小棒放在一個口袋里,讓學生預測摸出什么顏色的小棒可能性大。這樣的設計,既便于教師組織教學,也利于學生進行操作。
      實踐活動素材的選擇,要符合學生的年齡特征與生活經驗,提供具體、有趣、富有一定啟發 性的活動(如數學游戲),讓學生經歷應用數學知識分析問題和解決問題的過程,積累數學活動的經驗。如新年前夕班里準備開聯歡會,需要買水果,你認為買哪種水果好些?這是一個與學生生活密切相關的問題,為了解決這個問題,學生要調查全班同學每人最喜歡吃的一種水果,再根據統計結果進行分析,做出合理的決策。
      ()為學生提供積極思考與合作交流的空間
      教材的編寫要有利于學生進行觀察、實驗、操作、推理、交流等活動。無論是新課題的引入還是教學內容的展開,都應力求創設具有啟發性的問題情境,體現知識的形成過程。教材可以設立看一看”“做一做”“想一想”“說一說”“讀一讀"等欄目,引導學生進行自主性的學習活動;還可以適當提供開放性的問題和合作交流的機會,為學生拓展探索的空間。如在認識加法時,可采用如下素材,讓學生自己去發現一些數量關系,并解釋加法算式的實際意義。


      在上例所提供的問題情境中,有3個小孩在玩耍,背景還有3棵樹。這3個小孩可以根據游戲中的角色分工或者性別分為兩類,這3棵樹也可以根據所處的位置或大小分為兩類。因此,這個問題情境就蘊含著豐富的數學信息,學生可以從不同的角度對算式2+1=3的實際意義作出解釋。通過提供這樣的探索與交流活動,可以使學生更好地體會加法運算的意義。
      又如,在認識東、南、西、北等方向時,教材可提供以下的實踐活動。
      例在操場上,師生一起辨認東、南、西、北。
     ?。?span>1
     看一看東、南、西、北四個方向上各有什么。
     ?。?span>2) 把看到的物體記錄下來。
     ?。?span>3) 把你的記錄紙貼在黑板上,互相看看有什么不同。
     ?。?span>4) 根據你的記錄完成下圖。


     ?。ǘ?span> 呈現方式要豐富多彩
      本學段學生以形象思維為主,在教材編寫時,應采用多種多樣的形式(如圖片、游戲、卡通、表格、文字等),直觀形象、圖文并茂、生動有趣地呈現素材,提高學生的學習興趣,滿足多樣化的學習需求。
      例袋鼠經營的商店有16支鉛筆,小兔買走了9支,還剩多少支?
      該例可以采用系列的卡通圖畫來呈現問題情境以及計算169的多種方法。如,小老鼠一根一根地減; 小兔子把16分成106, 109=1,16=7;小山羊把9分成 63,166=10,103=7;狗先生說:"還可以這樣算,97=16,169=7。"
      例某班要舉行一次朗誦比賽,每位學生的朗讀時間規定為3分。一位同學選了一篇930字的文章,在賽前試讀時,他用了6分,怎么辦?
      該例可采用對話的形式呈現解決問題的思考過程。
      素材呈現方式的多樣化有利于學生展開學習活動,促進獨立思考以及在小組中的合作與交流。


      (重要的數學概念與數學思想宜逐步深入
      根據學生已有經驗、心理發展規律以及所學內容的特點,一些重要的數學概念與數學思想方法應采用逐步滲透、深化、螺旋上升的方式編排,以便逐步實現本學段的學習目標 。按這種方式編排的有關內容,既要注意其間的承繼關系,又要避免不必要的重復。
      如對圖形的認識內容的學習,可以自從不同位置觀察物體的學習開始,通過設計從上面、側面等不同位置觀察小汽車、茶壺等實物,使學生知道從不同位置看到的形狀是不一樣的;以后,再引導學生從上面、正面、側面觀察圖形(正方體、長方體等);進一步,還可以設計搭擺立方塊的活動,如由3個立方塊搭成的立體,從上面看,形狀是 ,這個立體是什么形狀?搭一搭,有幾種搭法?如果這個形狀是從正面看到的,這個立體是什么形狀?還可以提供進一步的問題,如:有一個由4個立方塊搭成的立體,從上面看,形狀是,你能想像這個立體是什么形狀嗎?對于更多個立方塊的情況,可以在第二學段或第三學段出現。

    ()內容設計要有一定的彈性
      《標準》所列出的目標是全體學生都應達到的基本要求,教材編寫必須明確這些基本要求,不要任意拔高,以確?;疽蟮膶崿F。另一方面,由于各地區、各學校以及學生個人之間存在著差異,教材編寫應體現一定的彈性,以滿足學生的不同學習要求,使全體學生都能得到相應的發展。
      具體的設計方式可以就同一問題情境提出不同層次的問題,如一些具有現實背景的開放性問題和探索規律的問題,使每個學生都能對其中的一些問題給出自己的想法、獲得成功的體驗。教材中還可以設計一些生動有趣的材料供學生選擇閱讀。例如,在學習了乘法計算之后,可以安排如下的活動:某花店有若干種標明價格的花,讓學生提出不同的問題。面對這樣的素材,不同的學生會提出不同的問題,如,5枝玫瑰花需要多少錢?10元錢可以配哪些花?
      實踐活動這部分內容的設計要使所有的學生都能參與,讓不同的學生獲得不同的體驗和發展。如,七巧板拼圖就是一個學生都喜歡參與的活動。學生的拼圖作品寓意不同,逼真程度各異,充分表現了他們各自的想像力與創造性。
      ()介紹有關的數學背景知識
      教材可以在適當的地方介紹一些有關數學家的故事、數學趣聞與數學史料,使學生了解數學知識的產生與發展首先源于人類生活的需要,體會數學在人類發展歷史中的作用,激發學生學習數學的興趣。這部分內容的學習可以采用閱讀材料的形式呈現。具體內容的介紹,應從學生的年齡特點出發,做到淺顯具體、生動有趣。
      本學段教材中可以呈現如下的數學史料:介紹數的概念的起源,使學生體會數起源于shǔ),量起源于liáng);介紹數的原始表示法(結繩記數與刻痕記數);通過歷史資料使學生體會“0”的雙重含義--作為位值制記數法中的空位記號與作為一個獨立的數;通過原始社會石器與陶器的幾何形狀和圖案介紹原始人對簡單形狀與圖案的認識,使學生感受到現實生活中充滿了圖形。

    第二學段(46年級) 


    一、教學建議
      數學教學是數學活動的教學,是師生之間、學生之間交往互動與共同發展的過程。
      數學教學,要緊密聯系學生的生活環境,從學生的經驗和已有知識出發,創設有助于學生自主學習、合作交流的情境,使學生通過觀察、操作、歸納、類比、猜測、交流、反思等活動,獲得基本的數學知識和技能,進一步發展思維能力,激發學生的學習興趣,增強學生學好數學的信心。
      教師是學生數學活動的組織者、引導者與合作者。教師要積極利用各種教學資源,創造性地使用教材,設計適合學生發展的教學過程。要關注學生的個體差異,使每一個學生都有成功的學習體驗,得到相應的發展;要因地制宜、合理有效地使用現代化教學手段,提高教學效益。
      ()讓學生在現實情境中體驗和理解數學
      在本學段的教學中,要創設與學生生活環境、知識背景密切相關的,又是學生感興趣的學習情境,讓學生在觀察、操作、猜測、交流、反思等活動中逐步體會數學知識的產生、形成與發展的過程,獲得積極的情感體驗,感受數學的力量,同時掌握必要的基礎知識與基本技能。
      例如,計算教學應注意與學生的現實生活相聯系,讓學生感受到通過計算可以解決一些實際問題。如,我們可以讓學生估計一下,哪個答案接近自己的年齡?①500分;②500周;③500時;④500月)學生可能會運用不同的方法進行猜測。此時,教師可以進一步引導學生如何知道自己的猜測是準確的或比較準確的。為了回答這個問題,學生將會進行必要的計算,從而體會計算的必要性,在具體的計算中,可以鼓勵學生使用計算器。
      又如,在空間與圖形的教學中,應充分利用學生生活中的事物,引導學生探索圖形的特征,豐富空間與圖形的經驗,建立初步的空間觀念。教學中可以組織學生分小組到操場上選定一個建筑物,讓學生站在不同角度看這個建筑物,體會從不同的角度看同一個物體時,所看到的形狀的變化,并用簡單的圖形畫下來。也可讓學生根據下面的要求在方格紙上畫出示意圖 :假設科技館在學校的正東方向500米處,小紅家在學校北偏西60°方向300米處,醫院在學校正南方向1000米處,汽車站在學校南偏西30°方向400 米處。學生可以根據這些信息 ,在方格紙上確定適當的單位距離,標出相對位置后,教師應及時組織學生進行交流,逐步發展學生的空間觀念。
      ()鼓勵學生獨立思考,引導學生自主探索、合作交流
      數學學習過程充滿著觀察、實驗、模擬、推斷等探索性與挑戰性活動。教師要改變以例題、示范、講解為主的教學方式,引導學生投入到探索與交流的學習活動之中。
      例 在下面的橫線上填數,使這列數具有某種規律,并說明有怎樣的規律。
      ,,, , , 。
      教師首先應鼓勵學生通過獨立思考,從不同的角度去探究可能隱含的規律,并在全班進行交流。在解決這個問題時,只要學生給出一個答案,并能作出合理的解釋,就應該給予肯定。下面是學生可能給出的一些答案:
     ?。?span>1
    )在橫線上依次填入,11 ,13,形成奇數列。
     ?。?span>2)在橫線上依次填入11,17,27,使這列數從第三個數開始,每個數都是前兩個數的和減1。
     ?。?span>3)在橫線上依次填入27,181,4 879,使這列數從第三個數開始,每個數都是前兩個數的積減。
      這樣的教學有利于培養學生獨立思考、合作交流的能力,有利于培養學生尋求數的規律的能力,比單純地做幾道計算題更具有挑戰性,也更有趣。
      為了使學生更好地進行獨立思考、合作交流,教師應鼓勵學生發現問題、提出問題,敢于質疑,樂于交流與合作。要防止學生的合作流于形式,強調在個人獨立思考基礎上的合作,以及通過合作與交流來開拓思路。
      ()加強估算,鼓勵解決問題策略的多樣化
      估算在日常生活與數學學習中有著十分廣泛的應用,培養學生的估算意識,發展學生的估算能力,讓學生擁有良好的數感,具有重要的價值。
      如,一本書12元,全班48人,每人買一本大約需要多少錢?教學中應充分鼓勵學生交流各自的估算方法,可以是10×50=500,認為500元左右;也可以是12×50=600,不到600元;還可以是10×48= 480,肯定比480元多。不同的學生可能會有不同的估算方法,教師應該為他們提供相互交流的機會。
      教學中應尊重每一個學生的個性特征,允許不同的學生從不同的角度認識問題,采用不同的方式表達自己的想法,用不同的知識與方法解決問題。鼓勵解決問題策略的多樣化,是因材施教、促進每一個學生充分發展的有效途徑。例如,在學習兩位數乘法時,可以鼓勵學生運用自己已有的知識背景,探求計算結果,而不宜教師首先示范,講解豎式筆算的法則和算理,限制學生的思維??梢猿鍪編в袑嵨飯D的問題:一箱汽水24瓶,18箱汽水有多少瓶?先讓學生估計一下大約有多少瓶,然后再設法算出結果。學生可能會出現以下一些算法:
      24×10+24×8=432  24×20-24×2=432 
      20×18+4×18=432  24×2×9=432 
      24×3×6=432  18×4×6=432
      18×3×8=432 
      也可能有學生會用豎式計算出結果。在學生獨立思考解決這個計算問題的基礎上,進行小組 交流,每個學生都發表自己的觀點,傾聽同伴的解法,感受解決問題策略的多樣化與靈活性,并比較不同方法的特點,在保證每個學生基本運算技能的前提下,不同的學生得到不同的發展,有的學生可能會掌握多種不同的方法,并能很好地表達自己的解題思路。
      又如,在一個農場里,雞和兔共22 只,它們的腳共有58 只,雞和兔各有幾只?
      對這一問題的解決應鼓勵學生采用多種策略:
      1.試誤與檢驗:可以讓學生猜測雞、兔的只數。假如學生經過幾次猜測之后,找到了正確答案,教師可以請他們回顧一下猜測的過程,獲得一些有益的解決問題的經驗。
      2.列舉:可以引導學生借助表格將“1只雞,21只兔一直到“21只雞,1只兔的所有情形下的腳的數量列舉出來,從而解決問題。
      3.尋找規律:可以在讓學生列舉部分情況的基礎上,引導學生從表格中尋找規律以解決問題。
      ()重視培養學生應用數學的意識和能力 本學段學生的知識、能力、情感和態度與第一學段的學生相比都有了進一步的發展,教師應該充分利用學生已有的生活經驗,引導學生把所學的數學知識應用到現實中去,以體會數學在現實生活中的應用價值。綜合應用是培養學生主動探索與合作學習的重要途徑,教師可以通過下面案例的教學過程,培養學生應用數學的意識和綜合運用所學知識解決問題的能力。 
      教學目的:讓學生通過統計塑料袋個數的活動,經歷數據的收集、整理、描述和分析的過程 ,加深對不同統計量意義的理解,并且在活動中綜合運用所學的知識和技能,感受到丟棄塑料袋的行為會對大自然造成污染,以喚起他們的環保意識。 
      以下為教學過程梗概。
      師:請小A上來把全班同學統計的數據填在這張表格里(前一周已留家庭作業,每個學生統計自己家庭一周內丟棄的塑料袋個數,教師也給出自己家庭的統計數據--教師自然地把自己融入到班級中去)。

    ,

    教師

    學生1

    學生2

    學生3

    學生42

    學生43 

    學生44

    塑料袋個數

    17

    18

    12

    27

    19

    18

    17

      師:哪一位同學能根據這組數據,描述一下我們班同學的家庭一周內丟棄的塑料袋情況?
      小B:我們班同學的家庭一周內共丟棄的塑料袋總數是:17+18+12+27+…+19+18+17=761。
      小C:老師,可以用乘法。塑料袋的總數是 18×14+17×14+27×2+19×4+12×2+16×5+10×2+9+8=761。
      師很好,他們用不同的計算方法得到的結果是一樣的。其他同學有不同的想法嗎(適時引導學生表述自己對問題的理解,而且不急于評價不同做法的優劣,這有利于學生主動表達自己的看法。事實上,學生自己會給出評價,并作出自己的選擇) 
      小D:平均一個家庭丟棄的塑料袋個數是:761÷45≈1691。
      師:你能解釋這個結果的意思嗎?(及時讓學生再一次領悟平均數的含義) 
      小A:應當是平均每個家庭大約丟棄17個塑料袋。
      小E:還有,這組數據的中位數是17,眾數是18。
      小F17也是眾數。
      師:大家同意嗎?(及時引導學生思考)
     ?。▽W生沉默片刻) 
      小C:應當是的。因為1718都出現了14次,出現的次數最多。
      師:很好。只要是出現次數最多的數,就是眾數。那么,眾數是1718又表示什么意思呢? 
      小E:我們班大多數家庭一周丟棄的塑料袋是17個或者18個。(停頓片刻) 好像不是大多數,是……
      師:小E現在遇到障礙了,他拿不定主意是不是大多數。誰來幫幫他?
      小A:好像是大多數。實際上一共有28個家庭丟棄17個或者18個塑料袋,已經超過半數了。 
      師:如果丟棄17個和18個塑料袋的家庭都是12個呢?還是大多數嗎?
      小A:好像不是大多數了,不到一半,但還是最多的。應該是丟棄17個或者18個塑料袋的家庭最多。
      師:很好,那中位數是17,又是什么意思?
      小 G:就是按照丟棄塑料袋個數多少來把每一個同學的家庭排隊,排在中間的學生家庭丟棄 17個塑料袋。
      師:它和平均數相同嗎?(讓學生再一次感受不同統計量的差異)如果有人問我們班一個同學的家庭通常丟棄多少塑料袋,你們說答案是什么?(強調用不同統計量表示同一問題的不同方面)
    學生議論……
      師:下面我們看一看這些塑料袋會污染多大面積的土地。(與環保相聯系)
      小M:這要看一個塑料袋占大約多大地方了。(解決問題的思路很清晰,并且具有估算的意識)
      我們可以把它當作長方形,大概有30厘米長,20厘米寬,即600厘米2。761個塑料袋共占據761×600,即456X600厘米2, 也就是456 660厘米2。真大!
      師:大家想一想,照這樣下去,一年我們大概會污染多少土地?如果是全校同學的家庭一年大概會污染多少土地?(將計算自然地融入解決問題的情境中)
      大家知道嗎?我們學校的面積大約是300002,請你們回去算一下,按照這個速度,我們全校師生的家庭只要多少時間就會污染整個學校這么大的地方。(以學生感興趣的問題作為課堂教學的自然延伸)
    二、評價建議
      評價的目的是全面考察學生的學習狀況,激勵學生的學習熱情,促進學生的全面發展。評價也是教師反思和改進教學的有力手段。
      對學生數學學習的評價,既要關注學生知識與技能的理解和掌握,更要關注他們情感與態度的形成和發展;既要關注學生數學學習的結果,更要關注他們在學習過程中的變化和發展。評價的手段和形式應多樣化,應重視過程評價,以定性描述為主,充分關注學生的個性差異,發揮評價的激勵作用,保護學生的自尊心和自信心。 教師要善于利用評價所提供的大量信息,適時調整和改善教學過程。
      (注重對學生數學學習過程的評價 在評價學習的過程時,要關注學生的參與程度,合作交流的意識與情感、態度的發展。同時,也要重視考察學生的數學思維過程。對參與程度的評價,應從學生能否主動參與數學學習 活動等方面進行考察。對學生合作交流意識的評價,應從學生是否主動地與同學合作、是否認識到自己在集體中的作用、是否愿意與同伴交流各自的想法等方面考察。對學生情感與態 度的評價,教師應結合具體的教學過程和問題情境,隨時了解每一個學生學習的主動性、學習數學的自信心和對數學的興趣。 對數學思維過程的評價,教師可以通過平時觀察了解學生思維的合理性和靈活性,考察學生是否能夠清晰地用數學語言表達自己的觀點等。
      建立成長記錄是學生開展自我評價的一個重要方式,它能夠反映出學生發展與進步的歷程。成長記錄中的材料應讓學生自主選擇,并與教師共同確定。例如,在對綜合應用部分進行評價時,學生可以利用成長記錄袋收集以下資料,以反映自己的探索過程與取得的進步:
     ?。?span>1
    )在日常生活中發現的數學問題;
     ?。?span>2)收集的有關資料;
     ?。?span>3)解決問題的方案和過程;
     ?。?span>4)活動報告或數學小論文;
     ?。?span>5)解決問題的反思。
      ()恰當評價學生的基礎知識和基本技能
      本學段對基礎知識和基本技能的評價,應遵循《標準》的基本理念,以本學段的知識與技能目標為標準,考察學生對基礎知識和基本技能的理解和掌握程度。應當強調的是,學段目標是本學段結束時學生應達到的目標,應允許一部分學生經過一段時間的努力,隨著數學知識與技能的積累逐步達到。對此,教師可以選擇推遲作出判斷的方法。如果學生自己對某次測驗的答卷覺得不滿意,教師可鼓勵學生提出申請,并允許他們重新解答。當學生通過努力,改正原答卷中的錯誤后,教師可以就學生的第二次答卷給以評價,給出鼓勵性的評語。這種 “推遲判斷淡化了評價的甄別功能,突出反映了學生的縱向發展。特別是對于學習有困難 的學生而言,這種"推遲判斷"能讓他們看到自己的進步,感受到獲得成功的喜悅,從而激發新的學習動力。
    評價應結合實際背景和解決問題的過程進行,對概念、公式和法則的評價應當更多地關注對知識本身意義的理解和在理解基礎上的應用。 
      對數與代數學習的評價,應主要考察學生對數與運算意義的理解和應用。包括以下幾個方面 :能否運用數與計算的知識描述并解決實際問題;是否能夠運用合理的計算策略正確地進行運算;是否有對計算結果進行估算和驗算的習慣;能否有效地利用計算器探求規律。 
      對空間與圖形學習的評價,應結合具體的情境,評價學生對圖形基本性質的認識和空間觀念的發展。如,針對能辨認從不同方位看到的物體的形狀和相對位置這一目標,教師可以設計如下問題。 
      例A,B,C三個偵察員,從三個方位觀察一間房子,分別標出A,C兩個偵察員看到的情形,B呢?

      對統計和概率學習的評價,重點應放在考察學生是否理解各種統計圖表的特征和統計量的意義,能否選擇適當的統計圖表和統計量來表達數據,是否體會事件發生可能性大小的意義等。而純粹的計算題,如計算給定數據的平均數不應當成為評價的主要內容。 
      對于綜合應用的評價,很難在一次書面考試中完成。因此,教師應注重評價學生參與活動的過程,不宜把這一類活動或問題納入書面考試(或測驗)的范圍之中。
      ()重視評價學生發現問題、解決問題的能力
      對學生發現問題、解決問題的能力可以從以下方面進行考察:能否從現實生活中發現和提出數學問題;能否探索出解決問題的有效方法,并試圖尋找其他方法;能否與他人合作;能否表達解決問題的過程,并嘗試解釋所得結果;是否具有回顧與分析解決問題過程的意識。例如,可以設計如下問題考察學生解決問題的能力。 
      例用一根長為50厘米的細繩圍成一個長方形,怎樣才能使它的面積最大?
      針對這個問題,教師首先要考察學生是否能圍出不同的長方形,并按照一定的規律將這些長方形排列,是否能發現面積與長和寬的關系, 從而進一步猜測到當圍成一個正方形時,它的面積最大。 
      ()評價主體和方式要多樣化
      本學段的學生在自主性和獨立性方面比第一學段相對加強。因此,在評價學生學習時,應讓學生開展自評和互評,而不僅僅局限于教師對學生的評價,也可以讓家長和社區有關人員參與評價過程。評價方式應當多種多樣,既可用書面考試、口試、活動報告等方式,也可用課堂觀察、課后訪談、作業分析、建立學生成長記錄袋等方式。
      每種評價方式都具有各自的特點,教師應結合評價內容及學生學習的特點,選擇適當的評價方式,以考察學生的學習情況,反映學生的進步歷程。教師可以從基礎知識的掌握情況、作業的認真程度、解決問題能力的發展和合作交流的技能四個方面進行考察。例如,可以從作業中了解學生計算技能掌握的情況,通過課堂觀察了解學生學習的態度,從成長記錄中了解學生提出問題和解決問題的意識和能力,從小組討論中了解學生合作交流的意識與技能。
      (評價結果要采用定性與定量相結合的方式呈現,以定性描述為主
      在呈現評價結果時,應采用定性與定量相結合,以定性描述為主的方式。定量評價可采用等級制的方式。 定性描述可以采用評語的形式,更多地關注學生已經掌握了什么,獲得了哪些進步,具備了什么能力。使評價結果有利于樹立學生學習數學的自信心,提高學生學習數學的興趣,促進學生的發展。
      下面是一個評語的例子:本學期我們學習了收集、整理和表達數據。小明通過自己的努力,能收集、記錄數據,知道如何求平均數,了解統計圖的特點,他制作的統計圖很出色,在這個方面是全班最好的。但他在使用語言解釋統計結果方面有一定困難。繼續努力,小明!評定等級,B。
      學生閱讀了這個以定性為主的評語,實際上也是與教師的一次情感交流,他獲得了成功的體驗,樹立了學好數學的自信心,也知道了哪些方面應該繼續努力。 
    三、教材編寫建議
      教材為學生的學習活動提供了基本線索,是實現課程目標、實施教學的重要資源。教材編寫應以《標準》為依據,提供的素材要密切聯系生活實際,讓學生體會到數學在生活中的作用;題材應豐富多樣,呈現方式應豐富多彩。教材的編寫應有利于激發學生的學習動機,引導學生從已有的經驗和知識出發,通過獨立思考和合作交流,體驗知識的發生與發展過程。教材的編寫還要有利于調動教師的主動性和積極性,鼓勵教師進行創造性教學。重要的數學概念與數學思想的呈現應體現螺旋上升的原則,逐步加深學生對數學知識、方法的理解。
      考慮到不同學生之間的差異,在保證基本要求的前提下,教材應體現出自己的特色,并具有一定的彈性。教材編寫時,應充分考慮與其他課程資源的開發和利用相結合。
      (選擇具有現實性和趣味性的素材
      相對第一學段而言,本學段學生的生活經驗和知識背景更為豐富,他們更多地關注周圍的人和事,有進一步了解現實世界、解決實際問題的欲望。因此,素材要密切聯系學生的現實生活,運用學生關注和感興趣的實例作為認識的背景,激發學生的求知欲,使得學生感受到數學就在自己的身邊,與現實世界密切聯系。
    例如,本學段學生對數的認識已從第一學段的萬以內擴展到億以內,而他們缺乏對大數的直接感受。因此,本學段選擇的學習素材,應有利于學生對大數的感受,要從學生身邊熟悉的事物中選取素材,使學生逐步地由較小的數去把握較大的數。
      例測量你1分心臟跳動的次數,進而推算你1 、1天心臟跳動的次數。你的心臟大約在多少天內跳動 100萬次?
      教材應當選取一些具體的模型和圖形,從這些模型和圖形出發認識有關的內容。例如,對于辨認從正面、側面和上面看到的形狀這個內容標準,可以以實物和模型等不同的方式呈現。再如設計圖案,可以直接從學生學過的各種圖形出發,討論用這些圖形通過什么樣的方式可以設計出美觀的圖案。對于圖形與變換、圖形與坐標的內容,教材應選取學生身邊的實例為素材,如物體做直線運動、栽樹時將樹苗扶正、學校主要建筑物的平面示意圖等。
      教材還可以從報刊、雜志、廣播和電視等媒體上選取一些合適的素材,以適當的方式呈現給學生,從而激發學生的學習熱情和主動探究的精神,鼓勵學生與同伴合作,并能夠與同伴交流自己的想法。
      例由人口統計年鑒,可查得某地1949年至1994 期間每隔5年的人口數據(如下表):

     /

    1949

    1954

    1959

    1964

    1969

    人口數/萬人

    4

    4.8

    5.9

    7.4

    9.6

     /

    1974

    1979

    1984

    1989

    1994

    人口數/萬人

    137

    18

    22.4

    27.1

    33.8

      教材可以引導學生對這組數據進行分析,進而對于人口變化情況有所了解,滲透函數的思想。
      ()給學生提供探索與交流的空間
      教材要為學生留有足夠的探索和交流的空間,以有利于改變學生的學習方式。教材的編寫要體現知識的形成過程,使學生在經歷知識形成的過程中,探索和理解有關的內容。問題的設置要具有啟發性,問題的呈現要有利于展開觀察、實驗、操作、推理、交流等活動,也可以通過設立看一看、做一做、想一想、議一議等欄目,引導學生進行探索與交流。
      例在五行五列的方格棋盤上沿骰子的某條棱翻動骰子,骰子在棋盤上只能向它所在格的左、右、前、后格翻動。開始時骰子在3C處,如圖所示:
      (1) 將骰子從3C處翻到3B處,骰子的形態如下圖。
      (2) 再將骰子從3B處翻到2B處,骰子的形態如下圖。
      (3) 繼續將骰子從2B處翻到2A處,朝上的一面為 。
      (4) 最后將骰子從2A處翻到1A處,朝上的點數為 。
      想一想
      如果從3C處開始,要使
      ····
      朝上,可以怎樣翻動?這時骰子在什么位置?
      做一做
      在小組內交流一下你的想法,再實際操作一下,與想像的結論一致嗎?

      這種問題具有很強的探索性和開放性,對于發展學生的空間觀念具有很好的促進作用。同時,由于學生可以通過操作、想像或二者相結合等多種方式解決這個問題,所以學生可以從中得到不同的發展。 
      (呈現方式要豐富多彩
      與第一學段相比,本學段的教學內容出現了一定量的文字和符號,所以教材的呈現方式應在圖文并茂的同時,逐漸增加數學語言的比重,可以運用學生感興趣的圖片、游戲、表格、文字等形式,直觀形象地呈現教材的內容。如對于如何估計一堆釘子的數量這種素材,教材可以用一組圖片來呈現學生活動的場景,不同的圖片呈現不同的活動方式;也可以用一組卡通圖片來呈現;還可以有文字敘述,以有利于激發學生的學習興趣。
      ()內容設計要有一定的彈性
      教材在把握《標準》基本要求的前提下,要有一定的彈性。具體的設計方式可以是就同一問題情境提出不同層次的問題或開放性問題,使不同的學生得到不同的發展。教材還可以設置一些選學內容或閱讀材料,滲透一些重要的數學思想和方法,為學有余力的學生提供更大的學習和發展的空間。另外,教材在內容的選取上還應考慮地區性差異。對于有條件的地區,可以在教材中利用一些現代化的工具,如利用計算機對數學問題進行處理。這樣可以使學生從繁雜的計算中解脫出來,將主要精力集中在對概念與方法的理解和從事探索性活動等方面 。
      例下面是兩支籃球隊在上一次農民運動會上的4場對抗賽的比賽結果(單位:分)。

    ,

    1

    2

    3

    4

    球隊1/

    66

    72

    88

    90

    球隊2/

    95

    90

    89

    80

      研究一下可以用哪些統計圖來分析比較這批數據,并回答下列的問題:
     ?。?span>1
    )你是怎樣設計統計圖的?
     ?。?span>2)你能否很直觀地從統計圖中讀出某支籃球隊的每場比賽成績?
     ?。?span>3)每種統計圖是否具有特殊的作用?
     ?。?span>4)你是怎樣評價這兩支球隊的?和同學們交流一下自己的想法。
      教材中可以要求學生利用計算機繪制上例的各種統計圖,還可以引導學生改變某些數據,動態地展示統計圖的變化情況,提高學生的學習興趣。
      (重要的數學概念與數學思想宜體現螺旋上升的原則
      《標準》中的目標是一個階段性目標,一些重要的數學概念與數學思想方法的內容應根據學生的心理特征、知識背景和所學知識的特點,采用螺旋上升的方式,但要避免不必要的重復。
      螺旋上升設計可以跨不同學段,如對分數意義的認識,可以在第一學段設計分數的初步認識,在第二學段設計分數的認識。又如對可能性的認識也應在不同學段中分層遞進。在第一學段主要讓學生初步體驗不確定現象;在第二學段主要讓學生在具體的活動中,初步對簡單事件發生的可能性大小進行定量刻畫。
      ()關注各部分內容之間的聯系與綜合
      數學知識是一個有機的整體,教材應反映各部分內容之間的聯系與綜合,這將有利于學生對數學的整體認識。
      例如,空間與圖形在第二學段包括四個方面的內容:圖形的認識、測量、圖形與變換和圖形與位置。這些內容既相對獨立,又有密切聯系。編寫教材時,應考慮它們之間的聯系,合理安排。如圖形的認識與測量的內容,可以穿插安排,恰當處理有關圖形的認識與相關的測量之間的關系;圖形與變換和圖形與位置的內容是相對獨立的,可以根據難易程度分散安排在不同的年級。
      在編寫教材時,應增加一些開放性的綜合應用的內容,以有利于學生自主探索、合作與交流,為學生的發展創造一種寬松的環境。本學段綜合應用的內容可以通過引入具體的問題情境,使學生在主動地觀察、操作、推理和交流中,逐步形成對數學的整體認識,獲得綜合運用數學知識和方法解決具體問題的能力。
      (介紹有關的數學背景知識
      教材中要注重體現數學的文化價值,在對數學內容的學習過程中,教材可以在適當的地方插入介紹一些有關數學發現與數學史的知識,豐富學生對數學發展的整體認識,對后續學習起到一定的激勵作用。
      在數與代數部分,可以介紹歷史上各種記數法,使學生體會十進位制記數法的優越性;通過對古埃及、古希臘以及中國古代大數目表示法的介紹與比較,使學生體會現代大數表示法的優越性;介紹歷史上各種計算工具,使得學生認識不同的計算工具對數學以及對人類日常生活的影響。
      在空間與圖形部分,可以介紹七巧板的有關史料,特別是古人給出的七巧板構圖,使學生感受幾何構圖的優美和我們祖先的智慧;介紹有關規、矩的歷史資料,使學生體會它們在中國古代幾何作圖及測量中的作用;介紹古代埃及、巴比倫、印度、中國對各種簡單幾何圖形面積和體積的計算結果及其現實背景,使學生進一步體會幾何與人類生活經驗和實際需要的密切關系。
      在統計與概率部分,可以介紹與天氣預測和保險業有關的資料,使學生了解概率問題的現實來源和歷史上的統計工作,體會統計思想和方法的現實背景。
       

    第三學段(79年級) 


    一、教學建議
      數學教學是數學活動的教學,是師生之間、學生之間交往互動與共同發展的過程。
      數學教學應從學生實際出發,創設有助于學生自主學習的問題情境,引導學生通過實踐、思考、探索、交流,獲得知識,形成技能,發展思維,學會學習,促使學生在教師指導下生動活潑地、主動地、富有個性地學習。
      在教學活動中,教師應發揚教學民主,成為學生數學活動的組織者、引導者、合作者;要善 于激發學生的學習潛能,鼓勵學生大膽創新與實踐;要創造性地使用教材,積極開發、利用各種教學資源,為學生提供豐富多彩的學習素材;要關注學生的個體差異,有效地實施有差異的教學,使每個學生都得到充分的發展;要重視現代教育技術在教學中的應用,有條件的地區,要盡可能合理、有效地使用計算機和有關軟件,提高教學效益。 
      ()讓學生經歷數學知識的形成與應用過程
      本學段的教學應結合具體的數學內容采用問題情境-建立模型-解釋、應用與拓展的模式展開,讓學生經歷知識的形成與應用的過程,從而更好地理解數學知識的意義,掌握必要的基礎知識與基本技能,發展應用數學知識的意識與能力,增強學好數學的愿望和信心。
      抽象數學概念的教學,要關注概念的實際背景與形成過程,幫助學生克服機械記憶概念的學習方式。比如函數概念,不應只關注對其表達式、定義域和值域的討論,而應選取具體實例,使學生體會函數能夠反映實際事物的變化規律。
      例已知攝氏溫度()和華氏溫度()有如下關系:

    攝氏溫度/℃ 

    0

    10

    20

    30

    40

    50

    華氏溫度/

    32

    50

    68

    86

    104

    122


      在平面直角坐標系中,通過描點觀察點的分布情況,建立滿足上述關系的函數表達式

    教學中,可指導學生開展如下的活動:
      描點:根據表中的數據在平面直角坐標系中描出相應的點。
      判斷:判斷各點的位置是否在同一直線上。(可以用直尺去試,或順次連接各點,觀察所有的點是否在同一直線上)
      求解:在判斷出這些點在同一直線上的情況下,選擇兩個點的坐標,求出一次函數的表達式。
      驗證:驗證其余的點的坐標是否滿足所求的一次函數表達式。
      教師要引導學生在數學知識和方法的應用中,體會數學的價值,增強用數學的意識。如引導學生用變換的觀點解釋現實世界中與圖形有關的現象,欣賞某些建筑物的對稱美;
      讓學生自己利用所學知識設計圖案。 
      又如,教師可以引導學生運用統計與概率的知識討論下面的問題。
      例有一則廣告聲稱:75%的人使用本公司的產品。你聽了這則廣告后有什么想法?
      通過對這個問題的討論,學生可以知道對廣告中75%這樣的數據,要應用統計的觀念去分析。比如,樣本是如何選取的、樣本的容量多大等。若該公司調查了4個人,其中有3個人用了這個產品,就說75%的人使用本公司的產品,這樣的數據顯然不可信。因此應對這個數據的真實性、可靠性提出質疑。
     ()鼓勵學生自主探索與合作交流
     有效的數學學習過程不能單純地依賴模仿與記憶,教師應引導學生主動地從事觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動,從而使學生形成自己對數學知識的理解和有效的學習策略。
      本學段數與代數的內容中充滿了用來表達各種數學規律的模型,如代數式、方程、函數、不等式等。因此,在教學過程中應該讓學生充分地經歷探索事物的數量關系、變化規律的過程。
      例完成下列計算:
      1+3=?
      1+3+5=?
      1+3+5+7=?
      1+3+5+7+9=?
      根據計算結果,探索規律。
    教學中,首先應讓學生思考:從上面這些算式中你能發現什么?讓學生經歷觀察(每個算式 和結果的特點)、比較(不同算式之間的異同)、歸納(可能具有的規律)、提出猜想的過程。教學中,不要僅注重學生是否找到了規律,更應關注學生是否進行了思考。如果學生一時未能獨立發現其中的規律,教師可以鼓勵學生相互合作交流,進一步探索,教師也可以提供一些幫助。如列出如下點陣,以使學生從數與形的聯系中發現規律:

      進而鼓勵學生推測出1+3+5+7+9+…+19=102。
      此后,教師還可以根據學生的實際情況,把這個問題進一步推廣到一般的情形,推出1+3+5+ 7+…+2n-1= n2,當然應該認識到這個結論的正確性有待進一步證明。
      本學段空間與圖形的內容(如圖案的欣賞與設計,圖形的基本性質,視圖等)的教學,可以 組織學生進行觀察、操作、猜測、推理等活動,并交流活動的體驗,幫助學生積累數學活動的經驗,發展空間觀念和有條理地思考。
      例組織學生進行如下活動:
    1 用硬紙片制作一個角;
    2 把這個角放在白紙上,描出∠AOB(如圖);
    3)再把硬紙片繞著點O旋轉180°,并畫出∠A′OB′;
    4)探索從這個過程中,你能得到什么結論。

      通過操作、觀察,每個學生都可能發現如下的某些結論:OAOA′,OBOB′是一條直線 ;∠ AOB∠A′OB′是對頂角,∠AOB∠A′OB′的大小相等,還可能發現:∠BOA′∠B′OA 也是對頂角,也相等;∠AOB∠A′OB互補,……
      在這樣的活動中,學生不僅能主動地獲取知識,而且能不斷豐富數學活動的經驗,學會探索,學會學習。
      ()尊重學生的個體差異,滿足多樣化的學習需要 
     學生的個體差異表現為認知方式與思維策略的不同,以及認知水平和學習能力的差異。教師要及時了解并尊重學生的個體差異,滿足多樣化的學習需要。
      教學中要鼓勵與提倡解決問題策略的多樣化,尊重學生在解決問題過程中所表現出的不同水平。問題情境的設計、教學過程的展開、練習的安排等要盡可能地讓所有學生都能主動參與,提出各自解決問題的策略,并引導學生在與他人的交流中選擇合適的策略,豐富數學活動 的經驗,提高思維水平。
      對學習有困難的學生,教師要給予及時的關照與幫助,要鼓勵他們主動參與數學學習活動,嘗試著用自己的方式去解決問題,發表自己的看法;教師要及時地肯定他們的點滴進步,對出現的錯誤要耐心地引導他們分析其產生的原因,并鼓勵他們自己去改正,從而增強學習數學的興趣和信心。對于學有余力并對數學有濃厚興趣的學生,教師要為他們提供足夠的材料,指導他們閱讀,發展他們的數學才能。
      ()應關注證明的必要性、基本過程和基本方法
      證明的教學所關注的是,對證明必要性的理解,對證明基本方法和證明過程的體驗,而不是追求所證命題的數量、證明的技巧。具體來說,包括如下幾個方面。
      在命題教學中,應通過生活和數學中的實例來說明什么是命題;能夠區分一個簡單命題的真偽,能夠用反例來判定一個命題是假命題;對幾何中的一些基本命題,應該要求學生能夠畫出相應的圖形,并逐步學會用符號來表示命題。
      在證明的教學中,首先,應通過生活、代數和幾何中的具體例子使學生認識到,有些命題可以通過觀察和實驗得到并獲得大家的認可,但也有些命題僅僅通過觀察和實驗是不夠的,從而使學生體會證明的必要性;其次,應該使學生理解證明的基本要求,有條理地闡述自己的想法,知道推理必須有依據,證明過程的表述必須條理清楚。
      反證法也是一種重要的證明方法,教學中可以通過生活實例和簡單的數學例子,使學生體會反證法的思想。但在義務教育階段不必給出反證法的證明格式。
      在教學中,應把證明作為探索活動的自然延續和必要發展,引導學生從問題出發,根據觀察 、實驗的結果,運用歸納、類比的方法首先得出猜想,然后再進行證明,這十分有利于學生對證明的全面理解;使用較規范的數學語言表述論證的過程,有利于學生清晰而有條理地表達自己的觀點并理解他人的思想;組織學生探索證明的不同思路,并進行適當的比較和討論,這有利于開闊學生的視野;提供一些具有實際背景的命題,增加論證的趣味性,有助于激發學生對數學證明的興趣和掌握綜合證法的信心。
      ()注重數學知識之間的聯系,提高解決問題的能力 
      教學中應當有意識、有計劃地設計教學活動,引導學生體會數學之間的聯系,感受數學的整體性,不斷豐富解決問題的策略,提高解決問題的能力。
      例準備多個長方形和正方形卡片(如下圖)

      教師任意寫出一個關于ab的二次式,此二次式需能分解成兩個一次因式的乘積,且各項系數都是正整數,如a2+2ab+b2, a2+4ab+4b2, 2a2+5ab+2b2等;
      學生根據教師給出的二次式,選取相應種類和數量的卡片,嘗試拼成一個矩形;
      討論該矩形的代數意義;
      由學生隨意選取適當種類和數量的卡片,拼接成不同尺寸的矩形,回答該矩形表達的代數公式。
      學生在這一活動中,將體會代數與幾何之間的聯系。
      本學段還可以通過課題學習的內容,使學生經歷問題情境-建立模型-解釋、應用與拓展”"的解決問題的過程,發展自己的思維能力,獲得一些研究問題的經驗和方法。
      例調查本校學生的課外活動情況。
      面對這個比較復雜的課題,一定要給學生以足夠的時間和空間進行充分的探索和交流。
      學生首先需要討論的問題是用什么數據來刻畫課外活動的情況,是采用課外活動的時間、課外活動的種類和參加各種活動的人數,還是選擇其他標準。通過大家的討論,可以選擇一個或多個標準進行刻畫。
      然后,學生將討論如何調查和收集數據。在討論的過程中,學生可能有不同的意見:有的主張要調查全校所有學生;有的認為只要調查一部分學生,用樣本來推斷總體。如果有學生堅持調查全校學生,教師則可以舉要了解一批燈泡的壽命這樣的例子說明抽樣的必要性,或者也可以讓這些學生實際操作一下,體會收集全校學生的數據是一件比較困難的事情。
      接著的問題是可以調查哪些人呢?”對此,學生可能有很多想法,如調查本班的同學,調查在操場上打球的學生,在校門口隨便找一些同學,每年級男生、女生按比例各抽幾個人,按各班名冊隨便點幾個人等等。對這些辦法不要急于肯定或否定,應讓學生通過實際操作和充分討論,認識到不同的樣本得到的結果可能不一樣,進而可以組織學生深入討論:從這些解釋中能作出什么推斷?能想辦法證實或反駁由這些數據得來的結論嗎?根據這個學段的特點,教學的重點應放在對樣本代表性的感受,以及樣本對結果的影響上,至于如何得到隨機樣本,如何確定適合的樣本容量則不作為教學要求。
      這是一個開放的課題,學生需要走出課堂進行調查,感興趣的學生不但可以調查全校學生的情況,還可以通過查資料等多種途徑獲得全市學生、全國學生甚至其他國家學生課外活動的情況。學生還可以調查本校的其他情況,為學校制定決策提供依據。
      ()充分運用現代信息技術
      教師應當在學生理解并能正確應用公式、法則等進行計算的基礎上,指導學生用計算器完成較為繁雜的計算。在課堂教學、課外作業、實踐活動以及考試中,應當允許學生使用計算器,還應鼓勵學生用計算器進行探索規律等活動。
      有條件的地區,教學中要盡可能地使用函數計算器、計算機以及有關軟件,這種現代教育手段和技術將有效地改變教學方式,提高教學的效益。如利用計算機展示函數圖象、幾何圖形及其變換過程并研究其性質;從數據庫上獲得數據,并繪制表示同一組數據的不同圖表,使學生能選擇適當的圖象描述數據;計算機還可以產生足夠的模擬結果,幫助學生更好地體會事件發生概率的意義。 
    二、評價建議
      評價的目的是全面考察學生的學習狀況,激勵學生的學習熱情,促進學生的全面發展 。 評價也是教師反思和改進教學的有力手段。 
      對學生數學學習的評價,既要關注學生知識與技能的理解和掌握,更要關注他們情感與態度 的形成和發展;既要關注學生數學學習的結果,更要關注他們在學習過程中的變化和發展。評價的手段和形式應多樣化,要將過程評價與結果評價相結合,定性與定量相結合,充分關 注學生的個性差異,發揮評價的激勵作用,保護學生的自尊心和自信心。 教師要善于利用評價所提供的大量信息,適時調整和改善教學過程。 
      ()注重對學生數學學習過程的評價
      對學生數學學習過程的評價,包括參與數學活動的程度、自信心、合作交流的意識,以及獨 立思考的習慣、數學思考的發展水平等方面。如
      ● 是否積極主動地參與學習活動;
      ● 是否有學好數學的自信心,能夠不回避遇到的困難;
      ● 是否樂于與他人合作,愿意與同伴交流各自的想法;
      ● 是否能夠通過獨立思考獲得解決問題的思路;
      ● 能否找到有效地解決問題的方法,嘗試從不同的角度去思考 問題;
      ● 是否能夠使用數學語言有條理地表達自己的思考過程;
      ● 是否理解別人的思路,并在與同伴交流中獲益;
      ● 是否有反思自己思考過程的意識;
      ……
      學生可以通過建立自己的成長記錄,反思自己的數學學習的情況和成長的  程。在成長記錄中可以收錄:
      ● 自己特有的解題方法;
      ● 印象最深的學習體驗;
      ● 最滿意的作業;
      ● 探究性活動的記錄;
      ● 單元知識總結;
      ● 提出的有挑戰性的問題;
      ● 最喜歡的一本書;
      ● 自我評價與他人評價;
      ……
      成長記錄中的材料應由學生自主選擇,材料要真實并定期加以更新。根據 本學段學生的特點,對于選擇的或更新的材料,學生要給予一定的說明。比如學生放入新的 作業以代替原來的作業時,要說明理由,如果是因為這次比上次做得好的話,還應說明取得進步的原因。教師要引導學生適時反思自己的成長情況,如實現了哪些學習目標、獲得了哪 些進步、自己作品的特征、解決問題的策略、還需要在哪方面進行努力等,并組織學生在班上進行展示和交流。
      建立數學成長記錄可以使學生比較全面地了解自己的學習過程,特別 是感受自己的不斷成長與進步,這有利于培養學生的自信心,也為教師全面了解學生的學 習狀況、改進教學、實施因材施教提供了重要依據。
      ()恰當評價學生的基礎知識與基本技能
      本學段對基礎知識和基本技能的評價,應遵循《標準》的基本理念,以本學段的知識與技能 目標為基準,考察學生對基礎知識和基本技能的理解和掌握程度。應當強調的是,學段目標是本學段結束時學生應達到的基本要求,因此如果學生自己對某次考試的結果不滿意,學校 應創造條件允許學生有再次考試的機會。這種推遲判斷淡化了評價的甄別功能,尊重了學生之間的個體差異,為不同學生的發展創造了條件。特別是對學習有困難的學生,這種 "推遲判斷"能讓他們看到自己的進步,獲得成功的喜悅,從而激發新的學習動力。
      對基礎知識和基本技能的評價應結合實際背景和解決問題的過程,更多地關注對知識本身意 義的理解和在理解基礎上的應用。
      對數與代數學習的評價,應主要考查學生對概念、法則及運算的理解與運用水平,不應單 純地考察對知識的記憶,對于運算的評價不能過分要求技巧。 
      對空間與圖形學習的評價,應主要考查學生對基本幾何事實的理解、空間觀念的發展以及合情推理的能力和初步演繹推理能力的獲得。對證明部分的評價,應關注學生對證明意義的理解以及證明的過程是否步步有據。 
      對于統計與概率學習的評價,重點應放在考查學生能否在具有現實背景的活動中應用統計與概率的知識與技能,是否具有統計觀念。 
      在本學段中,書面考試的比重較前兩學段有所增加,評價時應將書面考試與其他評價方式有機結合。   在采用書面考試時,要按照《標準》的要求,避免偏題、怪題和死記硬背的題目;要設計結合現實情景的問題,以考查學生對數學知識的理解和運用所學知識解決問題的能力;要控制客觀題型的比例,設置一些探索題與開放題,以更多地暴露學生的思維過程,對于這些問題,應允許學生有比較充裕的時間回答。
      例一個由3個大人和4個孩子組成的家庭去某地旅游。甲旅行社的收費標準是:如果買4張全票,則其余人按半價優惠;乙旅行社的收費標準是:家庭旅游算團體票,按原價的3/4優惠。這兩家旅行社的原價均為每人100元。這個家庭選擇哪家旅行社所花的費用少?比較隨著孩子人數的變化,哪家旅行社的收費更優惠?
      這個例子主要考查一次函數、不等式解法等內容,但它并非將考查的重點放在對概念的記憶 和技能的模仿上,而是提供了一個與現實生活密切聯系的問題情境,以考查學生對有關知識的理解和運用所學知識解決問題的能力。同時,這個問題也為學生構思自己的解題思路留下了空間,通過對學生解決問題過程的評價,教師既能考查學生掌握有關知識技能的情況,還可以了解學生的思維特點。
      ()重視對學生發現問題、解決問題能力的評價 
      本學段對學生發現問題、解決問題能力的評價主要包括:
      ● 能否結合具體情境發現并提出數學問題;
      ● 能否嘗試從不同角度分析和解決問題;
      ● 能否體會到與他人合作解決問題的重要性;
      ● 能否用文字、字母、圖表等清楚地表達解決問題的過程,并嘗試運用不同的方式進行表達;
      ● 能否解釋結果的合理性;
      ● 能否對解決問題的過程進行反思,獲得解決問題的經驗。
      例下表是某月的月歷: 

    ,

    ,

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    13

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    19

    20

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    22

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    25

    26

    27

    28

    29

    30

    31

    ,

    ,

    1)陰影方框中的9個數之和與該方框正中間的數有什么關系?
     ?。?span>2
    )這個關系對其他方框成立嗎?你能用代數式表示這個關系嗎?
     ?。?span>3)這個關系對任何一個月的月歷都成立嗎?為什么?
     ?。?span>4)你還能提出哪些問題?
      針對上面的例題,在評價學生提出問題時,首先應關注學生提出問題的積極性;其次要關注學生提出問題的深度和廣度,如有的學生可能會提出陰影方框中9個數之間是否存在其他關系,有的同學可能會進一步提出月歷中其他數之間是否存在著關系。在評價學生解決問題時,主要應關注學生是否積極思考,嘗試從月歷中發現規律;能否用代數式準確地表達自己發現的規律;是否有意識地對所發現的規律加以驗證;能否清晰、有條理地與同伴進行交流,并從交流中獲益;是否有意識地反思自己解決問題的過程。對于學生提出的問題和解決問題的方法,教師要給予鼓勵與引導,并隨時觀察記錄。 
      ()評價主體和方式要多樣化 
      要將自我評價、學生互評、教師評價、家長評價和社會有關人員評價結合起來。評價方式應當多種多樣,既可采用書面考試、口試、作業分析等方式,也可采用課堂觀察、課后訪談、大型作業、建立成長記錄袋、分析小論文和活動報告等方式。
      每種評價方式都有自己的特點,評價時應結合評價內容與學生學習特點加以選擇。比如要考查學生基礎知識和基本技能的掌握情況,可以采用書面考試等形式;要考查學生思維的深刻性及與他人合作交流的情況,可以采用開展長周期作業等方式;要考查學生在一段學習過程中獲得的進步,可以采用建立成長記錄等方式。無論采用何種方式,都應以激勵學生學習、促進學生發展為目的。
      教師在日常教學中應重視對學生的觀察,主要可以觀察幾個方面:基礎知識與基本技能的掌握狀況,在學習過程中的主動性、獨立思考與認真程度,解決問題的能力,與他人合作交流的情況等。 
      (評價結果要采用定性與定量相結合的方式呈現 
      在呈現評價結果時,應重視定性評價的作用,采用定性與定量相結合的方法。
      定量評價可采 用百分制或等級制的方式,要將評價結果及時反饋給學生,但不能根據分數排列名次。 教師要充分意識到數排名榜在給一小部分學生注入學習動力的同時,留給更多學生的是焦慮、打擊與恐懼。
      定性評價可采用評語的形式,在評語中應使用鼓勵性語言客觀、較為全面地描述學生的學習狀況,充分肯定學生的進步和發展,更多地關注學生已經掌握了什么、獲得了哪些進步、具備了什么能力、在哪些方面具有潛能,并幫助學生明確自己的不足和努力的方向。使評價結果有利于學生樹立學習數學的自信心,提高學習數學的興趣,促進學生的進一步發展。 
      第三學段學生的個性特征更加凸顯,評價應充分考慮這種差異,努力使每一個學生都能得到成功的體驗。為此,可以通過設計開放式的問題,反映學生不同的學習特點。教師在評價時應根據《標準》的基本要求和學生的答題情況,確定合格標準。同時,對學生中出現的獨特的想法或結論給予鼓勵性評價。 
    三、教材編寫建議 
      教材為學生的學習活動提供了基本線索,是實現課程目標、實施教學的重要資源。教材編寫應以《標準》為依據,所選擇的素材應盡量來源于自然、社會與科學中的現象和實際問題,應當反映一定的數學價值,能夠表現出不同內容之間的相互聯系。教材內容的編排和呈現要突出知識的形成與應用過程;應引導學生從已有的知識和經驗出發,進行自主探索與合作交流,并在學習過程中逐步學會學習;應關注對學生人文精神的培養。教材的編寫還要有利于調動教師的主動性和積極性,鼓勵教師進行創造性教學。重要的數學概念與數學思想的呈現應體現螺旋上升的原則,逐步加深學生對數學知識、思想和方法的理解。
      考慮到不同學生之間的差異,在貫徹《標準》的基本理念和保證《標準》規定的基本要求的前提下,教材編寫應體現出自己的風格和特色,并具有一定的彈性。教材編寫時,應充分考慮與其他課程資源的開發和利用相結合。 
      (選取自然、社會與其他學科中的素材 
      本學段學生的活動空間比第一、二學段有了較大的擴展,學生感興趣的問題已拓廣到客觀世界的許多方面,他們逐漸關注來源于自然、社會與其他學科中更為廣泛的現象和問題,對具有一定挑戰性的內容表現出更大的興趣。教材所選擇的素材應盡量來源于自然、社會與科學中的現象和問題,應當反映一定的數學價值。
      例如,對于統計與概率的內容,在教材編寫時應提供足夠的現代社會生活中的實例。既可以從報刊雜志、電視廣播、計算機網絡等方面尋找素材,也可以從學生的生活實際中提取他們感興趣的問題,如對學校周圍道路交通狀況(運輸量、車輛數、堵塞情況、交通事故等)的調查、對本地資源與環境的調查、對自己所喜愛的體育比賽的研究、討論歌手大賽中為什么要去掉一個最高分和最低分、討論有獎銷售等問題。這樣的素材能引導學生更多地著眼于對實際問題的探索,理解概念的實際意義,在學習數學的同時更好地認識現實世界。 
      例調查學校附近一個人行橫道的人流情況,你能就這個人行橫道的安全性和便利性提出改進意見嗎?設計一個調查方案,然后分組進行調查,并在全班交流各組的調查報告。
      ()給學生提供探索與交流的空間
       本學段的學生獨立思考和探索的愿望和能力有所提高,并能在探索的過程中形成自己的觀點,能在傾聽別人意見的過程中逐漸完善自己的想法。教材編寫時應注意體現這個特點,提供充分探索與交流的空間,使學生進一步經歷觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等活動。 
      教材可以設置具有挑戰性的問題情境,激發學生進行思考;提出具有一定跨度的問題串引導學生進行自主探索;通過與同學交流你的想法等語言鼓勵學生進行交流;提供一些開放性(在問題的條件、結論、解題策略或應用等方面具有一定的開放程度)的問題,使學生在探索的過程中進一步理解所學的知識;適當提供需要學生合作交流來解決問題的活動,如設置探究課題、社會調查等,使學生經歷多角度認識問題、多種形式表現問題、多種策略思考問題、嘗試解釋不同答案合理性的活動,以發展其創新意識和實踐能力;提出一些問題,引導學生對學習過程進行監控和反思。
      例探索規律。
     ?。?span>1)計算并觀察下列每組算式:
       8×8=     5×5=     12×12
       7×9      4×6=     11×13
     ?。?span>2)已知25×25=625,那么 24×26=?
     ?。?span>3)你能舉出一個類似的例子嗎?
     ?。?span>4)從以上的過程中,你發現了什么規律,你能用語言敘述這個規律嗎?你能用代數式表示這個規律嗎?
     ?。?span>5)你能證明自己所得到的規律嗎?
      這個例子通過設置問題串,使學生經歷了根據特例進行歸納、建立猜想、用數學符號表示,并給出證明這一重要的數學探索過程。
      學生空間觀念的培養、推理能力的發展、對圖形美的感受等都建立在經歷觀察、操作、猜測 、推理、交流等活動的基礎上,教材要充分展現這些過程。例如,在安排軸對稱內容時,教材可以呈現徽標、楓葉、雪花等多種圖案讓學生觀察;探索一些圖案中蘊涵的軸對稱關系;提供根據軸對稱進行圖案設計的活動;通過閱讀材料等,介紹相關的一些科學道理(如飛機、輪船的對稱能使飛機、輪船在航行中保持平衡;建筑上的對稱多半是為了美觀,但有時也考慮到使用上的方便和受力平衡等問題);利用對稱解決一些有趣的問題。
      例某汽車的車牌倒映在水中,你能根據水中的影子確定該車的牌照號碼嗎?
      在學習基本圖形基本性質的證明時,教材要設計一系列問題使學生認識到證明的必要性,探索證明的思路,體驗證明的過程要步步有據。
    (
    體現數學知識的形成與應用過程
      本學段的教材應體現從具體的問題情境中抽象出數學問題、使用各種數學語言表達問題、建立數學關系式、獲得合理的解答、理解并掌握相應的數學知識與技能的有意義的學習過程。教材中學習素材的呈現力求體現問題情境-建立數學模型-解釋、應用與拓展的模式,圍 繞所要學習的數學主題,選擇有現實意義的、對學生具有一定挑戰性的、能夠表現重要數學意義、有利于學生一般能力發展的內容,使學生在自主探索和合作交流的過程中建立并求解包含該主題的數學模型,判斷解的合理性并將所學的主題應用到其他場合,進而獲得相應的數學知識、方法與技能,為有需要的學生提供進一步了解該主題的途徑。通過上述的過程, 學生將逐步掌握基本的數學知識和方法,形成良好的數學思維習慣和應用意識,提高自己解決問題的能力,感受數學創造的樂趣,增進學好數學的信心,獲得對數學較為全面的體驗與理解。
      例如,在數與代數中,學生將學習方程、不等式、函數等內容,它們是研究現實世界數量關系和變化規律的重要數學模型,可以幫助人們從數量關系的角度更準確、清晰地描述和把握現實世界,編寫上述內容的教材時,要體現出數學建模的過程。如教材可以從生活中常見 梯子問題出發,引導學生進行討論,獲得一元二次方程的模型和近似解:
      例一個長為10米的梯子斜靠在墻上,梯子的頂端距地面的垂直距離為8米。如果梯子的頂端下滑1米,那么
     ?。?span>1) 猜一猜,底端也將滑動1米嗎? 

     ?。?span>2 列出底端滑動距離所滿足的方程。
     ?。?span>3) 你能嘗試得出這個方程的近似解嗎?底端滑動的距離比1大,還是比1???與同學交流 你的想法。
      教材可以再提供一些具體問題中的數量關系,使學生列出有關的一元二次方程,并經歷探索 滿足方程解的過程,進而產生學習方程一般解法的愿望。在學習了一元二次方程的一般解法后,教材除了要回顧上述的梯子問題外,還可以設立下面的開放性問題:
      例在一個長為50米、寬為30米的矩形空地上建造 一個花園,要求種植花草的面積是整塊空地面積的一半,請展示你的設計。 
      這個問題的參與性很強,每個學生都可以展開想像的翅膀,按照自己思考的設計原則, 設計出不同的圖案,并盡量使自己的方案定量化,在一些方案的定量化過程中,學生可以體會到一元二次方程在處理數量關系上的作用,認識到解一元二次方程不是一個機械的計算,得到的結果必須對具體情況是有意義的,需要恰當地選擇解和檢驗解。 
      (呈現形式要豐富多彩
      本學段的學生主要借助字母、圖形、文字等多種材料從事數學活動。教材呈現形式應多樣化 ,可以將實物照片、素描、文字、表格、圖形、字母等多種形式結合起來,使學生積極、主動地參與整個學習過程,加深對所學內容數學意義的理解。如用場景圖、實物照片等呈現問題情境,也可以編排一些有趣的閱讀材料,還可以安排多種活動(操作、實驗、調查等),使學生的數學學習密切聯系現實世界。素材還應蘊涵豐富的數學思想,使學生在學習過程中發現其中的數學內涵。如為了加深對乘方的理解,教材可以提供生物學中細胞分裂的實例,呈現時可以用細胞分裂圖來展示細胞分裂的過程每個細胞每次分裂為2個,2個又分裂成 4個,如此下去就構成了1,2,4,8,這樣一組數。這既提高了學生學習數學的興趣,了解了數學在其他學科中的應用,又加深了對所學知識的理解。
      豐富多彩的圖形是空間與圖形部分的重要學習素材,教材應做到圖片與啟發性問題相結合,圖形與必要的文字相結合,計算與推理相結合,數和形相結合,充分發揮圖形直觀的作用,使教材圖文并茂,富有啟發性。
      函數是數與代數中的重要內容,函數有多種表示形式(表格、圖象、表達式、語言),教材 要提供多種形式表示函數的例子,從多種角度來認識一次函數、二次函數、反比例函數的意義,以加深學生對函數思想的理解。
      ()內容設計要有一定的彈性一方面,教材要按照《標準》中指出的要求,保證學生基礎知識和基本技能的獲得與一定的訓練;另一方面,考慮到學生發展的差異和各地區發展的不平衡性,教材在保證基本要求的前提下,要體現一定的彈性,滿足學生的不同需求,使全體學生都能得到相應的發展,同時便于教師發揮創造性。具體的設計方式可以是就同一問題情境提出不同層次的問題或開放性問題,以使不同的學生得到不同的發展;提供一定的閱讀材料供學生選擇閱讀;課后習題的選擇與編排應突出層次性,可以設置鞏固性練習、拓展性練習、探索性問題等多種層次;在設計課題學習時,所選擇的課題要使所有的學生都能參與,在全體學生獲得必要發展的前提下,不同的學生可以獲得不同的體驗;教材可以編入一些拓寬知識的選學內容,但增加的內容應注重數學思想方法,注重學生的發展,有利于學生認識數學的本質與作用,增強對數學的學習興趣,而不應該片面追求解題的難度、技巧和速度。
      教材可以通過設計具體課題和閱讀材料等形式引入計算機、函數計算器等教育技術供有條件的學生選擇使用,使學生將更多的精力投入到有意義的探索性活動中去。如可以探索一些數量關系、函數的性質、圖形的性質;可以做一個圖形經過軸對稱、平移、旋轉后的圖形;可以利用坐標進行作圖,可以從事圖案的設計;可以展示豐富多彩的幾何圖形,可以探索圖形的變化規律等;還可以收集數據、處理數據、模擬概率實驗等。
      ()重要的數學概念與數學思想宜體現螺旋上升的原則
      《標準》中提供的是第三學段最終應達到的目標,根據學生的年齡特征、認知規律與知識特點,在教材編寫時,重要的數學概念與思想方法的學習可以遵循逐級遞進、螺旋上升的原則,但要避免不必要的重復。
      例如,前兩個學段的教材已經滲透了函數的思想,本學段將出現函數的概念。學生對函數概念的理解也有一個逐步發展的過程,教材對函數內容的編排應體現螺旋上升的、不斷深化的過程,而不宜集中一次學完,這樣有利于學生不斷加深對函數思想的理解。又如,在各個年級、各個領域中都應設計推理和證明的內容,可以按照提出佐證、說理和證明等層次逐步展開。
      ()重視知識之間的聯系與綜合
      教材要關注數學知識之間的聯系,這包括同一領域內容之間的相互連接,也包括選擇若干具體內容,體現數與代數、空間與圖形、統計與概率之間的實質性關聯,展示數學的整體性;教材還應關注數學與現實世界、與其他學科之間的聯系。
      例如,對于統計與概率的內容,教材應重視滲透統計與概率之間的聯系,通過頻率來估計事件的概率,通過樣本的有關數據對總體的可能性作出估計等。教材還應將統計與概率和其他領域的內容聯系起來,從統計與概率的角度為他們提供問題情境,在解決統計與概率問題時自然地使用其他領域的知識和方法,為培養學生綜合運用知識解決問題提供機會。
      對于數與代數的內容,教材要重視有關內容的幾何背景,運用幾何直觀幫助學生理解、解決有關代數問題。如,根據平面規則點陣中點的排列規律推導相應的整數列的和(如1+3+5+7+…可表示為正方形點陣);利用圖形理解完全平方公式、平方差公式等恒等式;利用函數圖象理解函數的變化趨勢。
      本學段的課題學習將更多體現活動的探索性和研究性,更多地把數學與社會生活和其他學科知識聯系起來,使學生進一步體會不同的數學知識以及數學與外界之間的聯系,初步學習研究問題的方法,提高學生的實踐能力和創新意識。課題學習的內容不一定在課內完成,教材可以設計一些活動,鼓勵學生利用課外時間從事搜集資料、進行調查等活動。
      ()介紹有關的數學背景知識
      在對數學內容的學習過程中,教材中應當包含一些輔助材料,如史料、進一步研究的問題、數學家介紹、背景材料等,還可以介紹數學在現代生活中的廣泛應用(如建筑、計算機科學、遙感、CT技術、天氣預報等),這樣不僅可以使學生對數學的發展過程有所了解,激發學生學習數學的興趣,還可以使學生體會數學在人類發展歷史中的作用和價值。輔助材料可以以閱讀材料等形式出現。
      在數與代數部分,可以穿插介紹代數及代數語言的歷史,并將促成代數興起與發展的重要人物和有關史跡的圖片呈現在學生的面前,也可以介紹一些有關正負數和無理數的歷史、一些重要符號的起源與演變、與方程及其解法有關的材料(如《九章算術》、秦九韶法)、函數概念的起源、發展與演變等內容。
      在空間與圖形部分,可以通過以下線索向學生介紹有關的數學背景知識:介紹歐幾里得《原本》,使學生初步感受幾何演繹體系對數學發展和人類文明的價值;介紹勾股定理的幾個著名證法(如歐幾里得證法、趙爽證法等)及其有關的一些著名問題,使學生感受數學證明的靈活、優美與精巧,感受勾股定理的豐富文化內涵;介紹機器證明的有關內容及我國數學家的突出貢獻;簡要介紹圓周率π的歷史,使學生領略與π有關的方法、數值、公式、性質的歷史內涵和現代價值(如π值精確計算已經成為評價電腦性能的最佳方法之一);結合有關教學內容介紹古希臘及
      中國古代的割圓術,使學生初步感受數學的逼近思想以及數學在不同文化背景下的內涵;作為數學欣賞,介紹尺規作圖與幾何三大難題、黃金分割、哥尼斯堡七橋問題等專題,使學生感受其中的數學思想方法,領略數學命題和數學方法的美學價值。
      在統計與概率部分,可以介紹一些有關概率論的起源、擲硬幣試驗、布豐(Buffon)投針問題與幾何概率等歷史事實,統計與概率在密碼學等方面的應用,這樣可以使學生對人類把握隨機現象的歷程有一個了解,對于學生進一步學習與發展有一定的激勵作用。 
      , 課程資源的開發與利用數學課程資源是指依據數學課程標準所開發的各種教學材料以及數學課程可以利用的各種教學資源、工具和場所,主要包括各種實踐活動材料、錄像帶、多媒體光盤、計算機軟件及網絡、圖書館,以及報刊雜志、電視廣播、少年宮、博物館等。教材編寫者、學校管理者、教師和有關人員應因地制宜,有意識、有目的地開發和利用各種資源。以下分別就有關資源的開發和利用提出一些建議。
      ()實踐活動材料
      為了使學生在課堂中能夠充分地參與活動,在活動中更好地理解重要的數學概念和方法,各個學校要充分利用并開發實物材料和設備(如計數器、釘字板、立體模型、校園設施)供學生開展實踐活動。
      ()音像資料與信息技術
      可以開發錄像帶、光盤等音像資料,如錄制生活中的一些場景作為與學習內容相適應的問題情境;錄制數學在科學技術中的應用;錄制數學家的生平或故事;錄制教學案例供教師討論。需要注意的是錄像帶、光盤的內容不能只是簡單重復教師在課堂中的講解。
      一切有條件和能夠創造條件的學校,都應使計算機、多媒體、互聯網等信息技術成為數學課程的資源,積極組織教師開發課件。要充分發揮信息技術的優勢,為學生的學習和發展提供豐富多彩的教育環境和有力的學習工具;為所有學生提供探索復雜問題、多角度理解數學思想的機會,豐富學生數學探索的視野;為一些有需要的學生提供個體學習的機會,以便于教師為特殊需要的學生提供幫助;為偏遠地區的學生提供教學指導和智力資源,更有效地吸引和幫助學生的數學學習。多媒體技術能為教學提供并展示各種所需的資料,包括文字、聲音、圖像等,并能隨時抽取播出;可以創設、模擬各種與教學內容相適應的情境?;ヂ摼W在教學活動中的應用日益廣泛,它在獲取資源和進行交流等方面的作用和價值越來越表現出來,它將成為一種不可或缺的課程資源。同時,在互聯網上還可以找到很多國內外的數學教育網站。在這些網站中,教師可以收集一些學習素材,下載一些與課程直接相關的內容在教學中應用。有條件的話,教師還應該向學生介紹一些好的網站供學生選擇,鼓勵并引導學生通過網絡來獲取信息,進行交流。
      需要注意的是,我們不提倡用計算機上的模擬實驗來代替學生能夠從事的實踐活動(如在計算機上模擬倒砂子實驗,以使學生理解等底等高的圓柱體和圓錐體體積之間的關系);我們不提倡利用計算機演示來代替學生的直觀想像,來代替學生對數學規律的探索。同時,學校之間要加強交流,共享資源,避免課件的低水平重復,也可以積極引進國外先進的教育軟件,并根據本學校學生的特點加以改進。 
      ()其他學科的資源
      要將數學與其他學科密切聯系起來,從其他學科中挖掘可以利用的資源(如自然現象、社會 現象和人文遺產)來創設情境,利用數學解決其他學科中的問題。例如可以展現細胞分裂的過程(1個分裂成2個,再逐步分裂成4,8,16,),使學生更好地理解平方的概念;可以讓學生通過收集和分析數據,研究影響單擺周期的因素;可以讓學生從數學的角度去研究環保問題。
      ()課外活動小組 
      學??梢蚤_展數學課外小組活動,用以激發學生的學習興趣,引導學生深入學習,培養學生 的實踐能力,發展學生的個性與創新精神。在課外活動小組中,教師還可以向學生提供一些閱讀材料,內容可以包括數學在生活中的應用、趣味數學、數學史和數學家的故事、擴展性知識等,用來拓寬學生的學習領域,激發學生學習數學的興趣。
      需要注意的是,課外小組應由學生自愿參加,避免使之成為競賽的工具。閱讀材料的編寫要符合學生的認知特征和生活經驗,并由學生選擇閱讀。
      ()圖書館資源
      學校圖書館應該基本滿足學生課外閱讀的需要,這對于擴大學生的知識面,激發學生學習數學的興趣都起著重要的作用。目前大多數學校的圖書館除了書籍數量太少外,一個主要問題是數學輔導類圖書所占的比例太大,這樣的局面必須改變。學校還應充分利用校外的圖書館,用以開闊學生的視野,豐富教師的教學資源。
      ()報刊雜志、電視廣播等媒體
      報刊雜志、電視廣播等媒體提供了許多有意義的問題,教材編寫者和教師要充分地從中挖掘適合學生學習的素材。教師還可以向學生介紹電視中與數學有關的欄目,組織學生對某些內容進行交流。
      ()社區、少年宮、博物館等活動場所
      學校要充分利用社區、少年宮、博物館等活動場所,一方面可以從這些場所中尋找合適的學習素材,如學生感興趣的自然現象和社會問題,一方面可以組織學生開展活動,如參觀博物館中的人文遺產,這樣可以激發學生的學習興趣,培養學生的實踐能力。
      ()智力資源
      應充分利用學校和社會上的智力資源,如邀請有關專家為學生和教師講課、就一些問題向專家請教、查閱有關數學教育的國際資料。
      為了有效地開發數學課程資源,有必要制定數學課程資源的評價標準,包括鼓勵社會參與,規范申報手續,規定課程資源的基本要求(如啟發性、創新性、實用性),制定合理價格,鼓勵有序競爭等各個方面。

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